Lecture 2-XX¶

Условное нормальное распределение¶

\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix}\sim N\left(\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}\right)

\xi_2|\xi_1=x\sim N\left(u_2+\sigma_2\cdot\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1},\sigma_2^2(1-\rho^2)\right)

\xi_2^*=\frac{\xi_2-\mu_2}{\sigma_2},\quad \xi_1^*=\frac{\xi_1-\mu_1}{\sigma_1}

\xi_2=\sigma_2\xi_2^*+\mu_2

\begin{aligned} \EE(\xi_2|\xi_1=x)&=\EE\left(\sigma_2\xi^*_2+\mu_2|\xi_1^*=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)\\& =\mu_2+\sigma_2\underbrace{\EE\left(\xi_2^*|\xi_1^*=\frac{x-\mu_1}{\sigma}\right)}_{\rho\cdot\tfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}}\\ &=\mu_2+\sigma\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1} \end{aligned}

\Var(\xi_2|\xi_1=x)=\sigma_2^2(1-\rho^2)

$\EE(\xi_2|\xi_1=x)=g(x)=a+bx$ — регрессия

\Phi_2(\Phi^{-1}(F_1(x_1)),\Phi^{-1}(F_2(x_2)), \rho)

где $\rho$ — коэффициент корреляции

Усечённое нормальное распределение (Truncated Normal Distribution)

z\sim N(0,1)\quad z|z>a\sim\ ?