Математический анализ II

Лекция 15. Ряды Фурье¶

Лекция 14. Ряды Фурье¶

Лекция 13. Степенные ряды-2¶

Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Теорема о непрерывности суммы степенного ряда. Теорема о почленном интегрировании степенного ряда. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда. Разложение функции в степенной ряд.

Лекция 12. Функциональные ряды-2. Степенные ряды-1¶

Признак Абеля. Теорема о почленном переходе к пределу. Теорема о непрерывности равномерно сходящегося ряда. Теорема о почленном интегрировании. Теорема о почленном дифференцировании. Степенные ряды. Радикальный признак Коши. Теорема Коши-Адамара

Лекция 11. Функциональные ряды-1¶

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда. Признак сравнения. Мажорантный признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда. Преобразование Абля. Признак Дирихле

Лекция 10. Неравномерная сходимость, интегрирование, дифференцирование функциональных последовательностей¶

Утверждение о неравномерной сходимости функциональной последовательности при наличнии расходимости в точке. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональной последовательности

Лекция 9. Функциональные последовательности-2¶

Функциональные последовательности. Супремальный критерий. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Теорема о почленном переходе к пределу. Теорема о непрерывности предельной функции. Условие №1 о неравномерной сходимости — разрыв точки

Лекция 8. Функциональные последовательности-1¶

Функциональные последовательности. Сходимость в точке Примеры функциональных последовательностей.

Лекция 7. Интеграл Римана на допустимых множествах.¶

Допустимое множество. Интегрирование по допустимым множествам и корректность такого определения. Теорема Фубини. Теорема о замене переменных в кратном интеграле.

Лекция 6. Суммы Дарбу¶

Нижняя и верхняя суммы Дарбу. Нижняя сумма Дарбу не больше верхней. Монотонность сумм относительно измельчений разбиения. Никакая нижняя сумма Дарбу не больше какой-либо верхней суммы на том же брусе. Верхние и нижние интегралы Дарбу. Интеграл Дарбу как предел сумм Дарбу.

Лекция 5. Расстояния. Колебания функции¶

Расстояние между двумя множествами. Расстояние между непересекающимися компактами. Колебание функции на множестве. Колебание функции в точке. Колебание функции, непрерывной в точке. Пересечение разбиений бруса. Критерий Лебега об интегрируемости функции по Риману. Пересечение разбиения. Измельчение разбиения.

Лекция 4. Компакты в ℝⁿ¶

Компактность замкнутого бруса. Критерий компактности. Теорема Вейерштрасса о непрерывной на компакте функции. Непрерывность функции в точке.

Лекция 3. Топология в ℝⁿ¶

Внутренняя, внешняя, граничная, изолированная, предельная, точки. Точка прикосновения. Замыкание. Открытость и замкнутость множеств. Компакт. Ограниченность. Критерий замкнутость множества.

Лекция 2. Cвойства интеграла Римана. Мера нуль по Лебегу.¶

Необходимое условие интегрируемости. Свойства кратных интегралов Римана. Мера нуль по Лебегу. Свойства множеств меры нуль по Лебегу.

Лекция 1. Кратные интегралы Римана¶

Брус. Мера бруса и её свойства. Разбиение координатных отрезков. Диаметр. Ограниченность. Масштаб разбиения. Отмеченные точки и разбиение. Интегральная сумма Римана. Кратные интегралы Римана. Интегрируемость по Риману.