Лекция 2, 17.09.2024

Кратные интегралы¶

Необходимое условие интегрируемости¶

Proof

(от противного)

Пусть $f$ неограничена на $I\implies\forall$ разбиения $\T=\{I_i\}^k_{i=1}$ бруса $I$ , $\exists i_0\colon f$ неограничена на $I_{i_0}$ .

$f\in\mathcal{R}(I)\implies\forall\ve>0$ , а значит и для $\ve=1,\exists\delta>0\colon\forall(\T,\xi)\colon\Delta_\T<\delta$ верно

\left|\sigma(f,\T,\xi)-\overbrace{\int\limits_Tf(x)\d x}^A\right|< 1

где $\exists A=\int\limits_If(x)\d x$ — конечный $\implies$

\overbrace{\int\limits_If(x)\d x-1}^A-1<\sigma(f,\T,\xi)<\overbrace{\int\limits_If(x)\d x}^A + 1\implies

$\sigma(f,\T,\xi)$ — ограничена

Однако с другой стороны по пункту 1 $\implies$

\sigma(f,\T,\xi)=\sum_{i\neq i_0}f(\xi_i)|I_i|+f(\xi_{i_0})|I_{i_0}|

т. к. на $I_{i_0} f(x)$ — неограниченная $\implies$ выбором подходящего $\xi_{i_0}$ можно сделать $f(\xi_{i_0})|I_{i_0}$ вместе с $\sigma(f, \T, \xi)$ сколь угодно большой $\implies$ (1) и (2) противоречат $\implies f$ — ограничена на $I$ .

Свойства кратного интеграла¶

Линейность¶

Proof

\begin{align*}f\in\mathcal{R}(I)\implies\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0,\forall(\mathbb{T},\xi)\colon\Delta_{\T}<\delta_1,&\\\left|\sigma(f,\mathbb{T},\xi)-\int\limits_Ifdx\right|<\frac{\varepsilon}{{1+|\alpha|+|\beta|}}&\end{align*}

\begin{align*}g\in\mathcal{R}(I)\implies\forall\varepsilon>0,\exists\delta_2>0,\forall(\mathbb{T},\xi)\colon\Delta_{\T}<\delta_2,&\\\left|\sigma(g,\mathbb{T},\xi)-\int\limits_Ifdx\right|<\frac{\varepsilon}{1+|\alpha|+|\beta|}&\end{align*}

Пусть тогда $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \implies$

\forall\ve>0,\exist\delta,\forall(\T,\xi)\colon\Delta_\T<\delta

|\sigma_f-A_f|<\frac{\ve}{1+|\alpha|+|\beta|},\qquad |\sigma_g-A_g|<\frac{\ve}{1+|\alpha|+|\beta|}

тогда рассмотрим

|\sigma_{\alpha f+\beta g}-A_{\alpha f+\beta g}\leq|\alpha|\cdot|\sigma_f-A_f|+|\beta|\cdot|\sigma_g-A_g|<(|\alpha|+|\beta|)\cdot\frac{\ve}{1+|\alpha|+|\beta|}<\ve

Монотонность¶

Proof 1

\forall\ve>0,\exists\delta>0\colon\forall(\T,\xi)\colon\Delta_\T<\delta\colon\begin{align*}&\left|\int\limits_If\d x-\sigma_f\right|<\ve\\&\left|\int\limits_Ig\d x-\sigma_g\,\right|<\ve\end{align*}

\begin{align*}&\int\limits_I f\d x-\ve<\sigma_f\leq\sigma_g<\int\limits_Ig\d x+\ve\\&\implies\int\limits_If\d x<\int\limits_I g\d x+2\ve\end{align*}

т. к. неравенство должно быть верно $\forall\ve>0$ даже для $\ve\ll 1$ , то

\int\limits_If\d x\leq\int\limits_Ig\d x

Оценка интеграла (сверху)¶

Мера по Лебегу¶