Задача 1 ¶ Доказать, что мера n n n
Подзадача А ¶ n n n ∣ I λ a , λ b ∣ = λ n ∣ I a , b ∣ |I_{\lambda a,\lambda b}|=\lambda^n|I_{a,b}| ∣ I λa , λb ∣ = λ n ∣ I a , b ∣
I = [ a 1 , b ] × [ a i , b 2 ] × … × [ a n , b n ] I=[a_1, b]\times[a_i,b_2]\times\ldots\times[a_n,b_n] I = [ a 1 , b ] × [ a i , b 2 ] × … × [ a n , b n ] μ ( I ) = ⊓ k = 1 n ( b k − a k ) \mu(I)=\sqcap^n_{k=1}(b_k-a_k) μ ( I ) = ⊓ k = 1 n ( b k − a k ) μ ( I λ a , λ b ) = ⊓ ( λ b k − λ a k ) = ⋯ = λ n ⊓ ( b k − a k ) \mu(I_{\lambda a,\lambda b})=\sqcap(\lambda b_k-\lambda a_k)=\dots=\lambda^n\sqcap(b_k-a_k) μ ( I λa , λb ) = ⊓ ( λ b k − λ a k ) = ⋯ = λ n ⊓ ( b k − a k ) Подзадача B ¶ аддитивна: ∣ ⨆ i = 1 K ∣ = ∑ i = 1 K ∣ I i ∣ |\bigsqcup_{i=1}^K|=\sum^K_{i=1}|I_i| ∣ ⨆ i = 1 K ∣ = ∑ i = 1 K ∣ I i ∣
Если ⨆ i = 1 k I i \bigsqcup_{i=1}^k I_i ⨆ i = 1 k I i μ ( ⨆ I k ) = ∑ μ ( I k ) \mu(\bigsqcup I_k)=\sum\mu(I_k) μ ( ⨆ I k ) = ∑ μ ( I k )
Подзадача C ¶ удовлетворяет свойству: если I ⊂ ⋃ i = 1 K I i I\subset\bigcup_{i=1}^K I_i I ⊂ ⋃ i = 1 K I i ∣ I ∣ ≤ ∑ i = 1 K ∣ I i ∣ |I|\leq\sum^K_{i=1}|I_i| ∣ I ∣ ≤ ∑ i = 1 K ∣ I i ∣
Есть много брусков, которые пересекаются, некоторые из которых могут встречаться несколько раз. Если мы построим сеточное разбиение, то мы получим в левой части элементы сетки, лежащие в объединении по одному разу, а в правой части по несколько раз. Очевидно, что в таком случае LHS включается в RHS.
Задача 2 ¶ Может ли множество лебеговой меры нуль содержать внутренние точки?
Покроем множество A A A
μ ext ( A ) = inf покрытие ∑ k = 1 n μ ( I k ) \mu^{\text{ext}}(A)=\inf_{\text{покрытие}}\sum^n_{k=1}\mu(I_k) μ ext ( A ) = покрытие inf k = 1 ∑ n μ ( I k ) x x x F F F ∃ ε > 0 : [ x 1 − ε , x 1 + ε ] × [ x 2 − ε , x 2 + ε ] × … × [ x n − ε , x n + ε ] ⊆ A \exists\varepsilon>0\colon[x_1-\varepsilon,x_1+\varepsilon]\times[x_2-\varepsilon,x_2+\varepsilon]\times\ldots\times[x_n-\varepsilon,x_n+\varepsilon]\subseteq A ∃ ε > 0 : [ x 1 − ε , x 1 + ε ] × [ x 2 − ε , x 2 + ε ] × … × [ x n − ε , x n + ε ] ⊆ A
рациональные / иррациональные числа канторово множество множество Витали Живём в R 1 \mathbb{R}^1 R 1 A A A [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] B B B [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ]
μ ext ( A ) = 1 \mu^{\text{ext}}(A)=1 μ ext ( A ) = 1
μ ext ( B ) = 0 \mu^{\text{ext}}(B)=0 μ ext ( B ) = 0
Точки имеют один цвет, если ∣ a − b ∣ ∈ Q |a-b|\in\mathbb{Q} ∣ a − b ∣ ∈ Q
Тогда
1 2 ∼ 1 3 ∼ 5 6 ∼ 6 11 ∼ … \frac{1}{2}\sim\frac{1}{3}\sim\frac{5}{6}\sim\frac{6}{11}\sim\dots 2 1 ∼ 3 1 ∼ 6 5 ∼ 11 6 ∼ … π 6 ∼ π 6 + 1 4 ∼ π 6 − 1 100 ∼ π 6 + 1 50 ∼ … \frac{\pi}{6}\sim\frac{\pi}{6}+\frac{1}{4}\sim\frac{\pi}{6}-\frac{1}{100}\sim\frac{\pi}{6}+\frac{1}{50}\sim\dots 6 π ∼ 6 π + 4 1 ∼ 6 π − 100 1 ∼ 6 π + 50 1 ∼ … т. к. эти классы эквивалентности счётны, то цветов континуум.
Если мы возьмём одну точку и пробежим все её повороты по окружности, где координаты изменяются полярно от 0 до 1, тогда мы покроем все точки в классе эквивалентности.
⋃ i = 1 ∞ U i = Окр \bigcup^{\infty}_{i=1}U_i=\text{Окр} i = 1 ⋃ ∞ U i = Окр μ ( V i ) = const \mu(V_i)=\text{const} μ ( V i ) = const Листок 2, 3а ¶ ∫ 1 2 d y ∫ y 2 d x ∫ 0 1 / ( x y ) d z x ( 1 + x 2 y 2 z 2 ) \int\limits^2_1dy\int\limits^2_ydx\int\limits^{1/(xy)}_0\frac{dz}{x(1+x^2y^2z^2)} 1 ∫ 2 d y y ∫ 2 d x 0 ∫ 1/ ( x y ) x ( 1 + x 2 y 2 z 2 ) d z ∫ 1 2 d y ∫ d z ∫ d x x ( 1 + x 2 y 2 z 2 ) \int\limits^2_1 dy\int dz\int\frac{dx}{x(1+x^2y^2z^2)} 1 ∫ 2 d y ∫ d z ∫ x ( 1 + x 2 y 2 z 2 ) d x ∫ d z ∫ d x ∫ d y x ( 1 + x 2 y 2 z 2 ) \int dz\int dx\int\frac{dy}{x(1+x^2y^2z^2)} ∫ d z ∫ d x ∫ x ( 1 + x 2 y 2 z 2 ) d y y ∈ [ 1 , 2 ] y\in[1,2] y ∈ [ 1 , 2 ] x ∈ [ y , 2 ] x\in[y,2] x ∈ [ y , 2 ] z ∈ [ 0 , 1 x y ] z\in[0,\frac{1}{xy}] z ∈ [ 0 , x y 1 ]