Лекция 3, 01.10.2024

$M$ — множество меры нуль по лебегу, $L\subset M$ — подмножество $M\implies$ $L$ — множество меры нуль по Лебегу.

Не более чем счётное объединение множеств меры нуль по Лебегу является множеством меры нуль.

Proof 2

$\{M_i\}$ — не более чем счётный набор, где $\forall i, M_i$ — множество меры нуль. $\implies \forall i, \forall \varepsilon_i,\exists$ не более чем счётное $\{I_j^i\}$ брусов (замкнутых или открытых).

$M_i\subset U_jI^i_j$ и $\sum_j|I_j^i|<\varepsilon_i, \varepsilon_i=\frac{\varepsilon}{2^i}$

тогда $M=\bigcup M_i$ и $M\bigcup_{i,j}I^0_j$ . Мы хотим, чтобы $\forall \varepsilon>0$

$ $\sum_{i, j}|I^i_j|=\sum_i\left(\sum_о|I_j^i|\right)<\sum_i\varepsilon_i=\sum_i\frac{\varepsilon}{2^i}=\varepsilon\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\varepsilon$

случай $\{M_i\}^N_{i=1}$ — конечный набор

\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_N=\frac{N}{N+1}\varepsilon<\varepsilon

\varepsilon_i=\frac{\varepsilon}{N+1}

Топология в $\R$ ^n¶

$M\subset \R^n$

Proof

A. Необходимость (от противного)

Пусть $x_0$ — предел точки $M$ , но $x_0\not\in M$ , тогда $x_0\in \R^n$
По условию $M$ замкнуто, т. е. $\R^n\setminus M$ открыто, т. е. все его точки внутренние $\implies$ для $x_0$ из п. 1 $\exists r >0, B_r(x_0)\subset \R^n\setminus M\implies \overset{\circ} B_\varepsilon(x_0)\cap M=\varnothing$ , но т. к. $x_0$ предельная $\forall \varepsilon >0, \overset{\circ}B_\varepsilon(x_0)\cap M\neq\varnothing$
Получили противорение $\implies M$ содержит все предельные точки

Лекция 3, 01.10.2024

Топология в R\RR^n¶

Топология в $\R$ ^n¶