Лекция 12. Функциональные ряды-1

Сходимость функциональных рядов¶

Пусть $\fset\subset\RR$ , $f_n, S\colon\fset\to\RR\ (\forall n\in\NN)$ , а также $\ds S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x)$ — частичные суммы функционального ряда.

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда¶

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда¶

Признак сравнения¶

Theorem 12.3 (Признак сравнения функциональных рядов)

\left.\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x),\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)\colon\\ &\exists N\colon \forall n>N, \forall x\in \fset\\ &|a_n(x)|\leq b_n(x)\\ &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}\\&\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\text{ сходится абсолютно на } \fset\end{aligned}

Proof

Докажем по критерию Коши

\begin{align*} \quad |a_{m+1}(x)+\ldots+a_k(x)|&\leq |a_{m+1}(x)|+\ldots+|a_k(x)|\\&\leq |b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)|<\ve \end{align*}

Знаем, что $\ds \sum^\infty_{n=1}b_n(x)\overset \fset\uniconverges$ , то есть

\forall\ve > 0, \exists N_1\colon \forall k>m>N_1,\forall x\in \fset\hookrightarrow|b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)|<\ve

Получаем, что

\begin{align*} \forall\ve>0, \exists \tilde N=&\max\{N,N_1\}\colon\forall k>m>\tilde N, \forall x\in \fset\hookrightarrow\\ &|a_{m+1}(x)+\ldots+a_k(x)|<\ve\Longrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges} \end{align*}

Так как это выполняется для любого $x\in \fset$ , то

\forall x_0\in \fset\hookrightarrow|b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)|<\ve

\forall\ve>0,\exists \tilde{N}=\max\{N,N_1\}\colon \forall k>m>\tilde{N}\hookrightarrow |a_{m+1}(x)|+\ldots+|a_k(x)|<\ve,

то есть $\ds\sum_{n=1}^{\infty}|a_n(x_0)|$ сходится $\implies$ сходится абсолютно $\forall x_0\in \fset$ .

Мажорантный признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда¶

Преобразование Абеля¶

Proof

\begin{aligned} \sum_{n=m+1}^{k}(a_n-a_{n-1})b_n&=\sum_{n=m+1}^{k}a_nb_n-\sum_{n=m+1}^k a_{n-1}b_n\\ &=\sum_{n=m+1}^{k}a_nb_n-\sum_{n=m}^{k-1}a_nb_{n+1}\\ &=a_kb_k+\sum_{n=m+1}^{k-1}a_nb_n-a_mb_{m+1}-\sum_{n=m+1}^{k-1}a_mb_{n+1}\\ &=a_kb_k-a_mb_{m+1}+\sum_{n=m+1}^{k-1}a_n(b_n-b_{n+1}) \end{aligned}

Признак Дирихле¶

Theorem 12.6 (Признак Дирихле для функциональных рядов)

\left.\begin{aligned} &a_n(x),b_n(x)\colon \fset\to\RR\\ &\exists c>0\colon \forall k\in\NN,\forall x\in \fset, |A_k(x)|\leq c\\ &\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\text{ монотонна } \forall \text{ фикс. } x \in \fset \text{ по } n \\ &b_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges} 0 \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}

Proof 12.1

Докажем по критерию Коши. Пусть

A_k(x)=\sum_{n=1}^k a_n(x),\qquad a_n(x)=A_n(x)-A_{n-1}(x)

Рассмотрим

\begin{aligned} \left|\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)b_n(x)\right|&=\left|\sum_{n=m+1}^{k}\left(A_n(x)-A_{n-1}(x)\right)b_n(x)\right|\\ &=\left|A_k(x)b_k(x)-A_m(x)b_{m+1}(x)\right.\\ &\qquad\qquad\left.+\sum_{n=m+1}^{k-1}A_n(x)\left(b_n(x)-b_{n+1}(x)\right)\right|\\ &\leq\underbrace{|A_k(x)|}_{\leq c}\cdot|b_k(x)|+\underbrace{|A_m(x)|}_{\leq c}\cdot|b_{m+1}(x)|\\ &\qquad\qquad+\sum^{k-1}_{n=m+1}|A_n(x)|\cdot|b_n(x)-b_{n-1}(x)|\\ &\boxed{\begin{align*} &\sum^{k-1}_{n=m+1}|A_n(x)|\cdot|b_n(x)-b_{n-1}(x)|\\ &\leq c\sum^{k-1}_{n=m+1}|b_n(x)-b_{n+1}(x)|\\ &=c\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|\\ &=c|b_{m+1}(x)-b_k(x)\leq 2c(|b_x(x)|+|b_{m+1}(x)|) \end{align*}}\\ &\leq c\cdot\left(|b_k(x)|+|b_{m+1}(x)|+|b_{m+1}(x)-b_{k}(x)|\right)\\ &\leq 4c\cdot \max\{|b_k(x)|,|b_{m+1}(x)|\}\ldots \end{aligned}

Знаем, что $b_n\overset{\fset}{\uniconverges} 0$ , то есть

\forall \ve>0, \exists N\in\NN:\forall n>N, \forall x\in \fset\hookrightarrow|b_n(x)|<\frac{\ve}{4c}

тогда в итоге получим $\ldots < 4c\cdot\ds\dfrac{\ve}{4c}=\ve$ .

Значит, выполняется критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов, то есть верно, что

\forall \ve > 0, \exists \tilde N > N\colon \forall k > m > \tilde N, \forall x \in \fset

\left|\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)b_n(x)\right|<\ve\Longrightarrow\text{ ряд }\sum_{n=m+1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}

Признак Абеля¶

Theorem 12.7 (Признак Абеля для функциональных рядов)

\left.\begin{aligned} &a_n,b_n:\fset\to\RR\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}\\ &\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\text{ монотонна } \forall \text{ фикс. } x \in \fset \text{ по } n \\ &\exists c>0\colon \forall n>N,\forall x\in \fset, |b_n(x)|\leq c \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}

Proof

Обозначим

\alpha_k^m(x)=A_k(x)-A_m(x)=\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)

Обратим внимание, что $\alpha_m^m=0$ . В любом случае получаем, что

\begin{align*} a_n(x)&=\alpha_n^m(x)-\alpha_{n-1}^{m}(x)\\&=A_n(x)-A_m(x)-A_{n-1}(x)+A_m(x)=A_n(x)-A_{n-1}(x) \end{align*}

Рассмотрим $\ds\left|\sum_{n=m+1}^{k} a_n(x)b_n(x)\right|$ :

\begin{aligned} \left|\sum_{n=m+1}^{k} a_n(x)b_n(x)\right|&=\left|\sum_{n=m+1}^{k}(\alpha_n^m(x)-\alpha_{n-1}^{m}(x))b_n(x)\right|\\ &\leq |\alpha_{k}^m(x)b_k(x)|+|\alpha_{m}^m(x)b_{m+1}(x)|\\ &\qquad\qquad+\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}\alpha_{n}^m(x)(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|\\ &\leq |\alpha_{k}^m(x)|\cdot|b_k(x)|+\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}\alpha_{n}^m(x)(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|\\ &<\frac{\ve}{3c}\cdot c+\frac{\ve}{3c}\cdot|b_{m+1}(x)-b_k(x)|\\ &<3c\cdot\frac{\ve}{3c}=\ve \end{aligned}

$\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ монотонна на $\fset\Longrightarrow b_n(x)-b_{n+1}(x)$ одного знака $\forall n$ .
$|b_n(x)|\leq c,\forall x\in \fset, \forall n\in\NN$
$\ds\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges},\forall\ve>0,\exists N\colon\forall k>m>N\colon|\alpha_k^m(x)|<\frac{\ve}{3}$

Значит,

\forall\ve>, \exists N\colon \forall k>m>N, \forall x\in \fset\hookrightarrow\left|\sum_{n=m+1}^{k}a_m(x)b_n(x)\right|<\ve

Cледовательно ряд сходится равномерно на $\fset$ по критерию Коши.

Конспекты

Лекции 10–11. Интегрирование, дифференцирование функциональных последовательностей

Конспекты

Лекция 13. Функциональные ряды-2. Степенные ряды-1