Лекция 11. Функциональные ряды-1

Функциональные ряды—1¶

Пусть $D\subset\mathbb{R}$ , $f_n, S:D\to\mathbb{R}\ (\forall n\in\mathbb{N})$ , а также $\displaystyle S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x)$ — частичные суммы функционального ряда.

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда¶

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда¶

Признак сравнения¶

Theorem 11.3 (Признак сравнения)

\left.\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\text{ и }\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x):\\ &\exists N\colon \forall n>N, \forall x\in D, |a_n(x)|\leqslant b_n(x)\\ &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\\&\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\text{ сходится абсолютно на }D\end{aligned}

Proof

Докажем по критерию Коши

\begin{align*} \quad |a_{m+1}(x)+\ldots+a_k(x)|&\leqslant |a_{m+1}(x)|+\ldots+|a_k(x)|\\&\leqslant |b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)|<\ve \end{align*}

Знаем, что $\displaystyle \sum^\infty_{n=1}b_n(x)\overset D\uniconverges$ , то есть $\forall\ve > 0, \exists N_1\colon \forall k>m>N_1,\forall x\in D$ выполняется $|b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)|<\ve$

Получаем, что

\forall\ve>0, \exists \tilde N=\max\{N,N_1\}: \forall k>m>\tilde N, \forall x\in D\hookrightarrow|a_{m+1}(x)+\ldots+a_k(x)|<\ve\Longrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}

Так как $(\star)$ выполняется для любого $x\in D$ , то $\forall x_0\in D$ выполняется $|b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)|<\ve$ ,

\forall\ve>0\ \exists \overset{\sim}{N}=\max\{N,N_1\}: \forall k>m>\overset{\sim}{N}\hookrightarrow |a_{m+1}(x)|+\ldots+|a_k(x)|<\ve,

то есть $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n(x_0)|$ — сходится, а значит сходится абсолютно $\forall x_0\in D$

Мажорантный признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда¶

Последовательность функций $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ монотонна на $D$ (по $n$ ), если $\forall x_0\in D$ соответствующая числовая последовательность $\{f_n(x_0)\}_{n=1}^{\infty}$ имеет ту же монотонность. То есть

\forall x_0\in D\ b_n(x_0)\geqslant b_{n+1}(x_0)\text{ или }b_n(x_0)\leqslant b_{n+1}(x_0)

Преобразование Абля¶

Proof

\begin{aligned} \sum_{n=m+1}^{k}(a_n-a_{n-1})b_n&=\sum_{n=m+1}^{k}a_nb_n-\sum_{n=m+1}^k a_{n-1}b_n\\ &=\sum_{n=m+1}^{k}a_nb_n-\sum_{n=m}^{k-1}a_nb_{n+1}\\ &=a_kb_k+\sum_{n=m+1}^{k-1}a_nb_n-a_mb_{m+1}-\sum_{n=m+1}^{k-1}a_mb_{n+1}\\ &=a_kb_k-a_mb_{m+1}+\sum_{n=m+1}^{k-1}a_n(b_n-b_{n+1}) \end{aligned}

Признак Дирихле¶

Theorem 11.6 (Признак Дирихле)

\left.\begin{aligned} &a_n(x),b_n(x)\colon D\to\mathbb{R}\\ &\exists c>0\colon \forall k\in\mathbb{N},\forall x\in D, |A_k(x)|\leqslant c\\ &\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\text{ монотонна } \forall \text{ фикс. } x \in D \text{ по } n \\ &b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} 0 \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}

Proof 11.1

Докажем по критерию Коши. Пусть

A_k(x)=\sum_{n=1}^k a_n(x),\qquad a_n(x)=A_n(x)-A_{n-1}(x)

Рассмотрим

\begin{aligned} \left|\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)b_n(x)\right|&=\left|\sum_{n=m+1}^{k}\left(A_n(x)-A_{n-1}(x)\right)b_n(x)\right|\\ &=\left|A_k(x)b_k(x)-A_m(x)b_{m+1}(x)+\sum_{n=m+1}^{k-1}A_n(x)\left(b_n(x)-b_{n+1}(x)\right)\right|\\ &\leqslant\underbrace{|A_k(x)|}_{\leqslant c}\cdot|b_k(x)|+\underbrace{|A_m(x)|}_{\leqslant c}\cdot|b_{m+1}(x)|+\sum^{k-1}_{n=m+1}|A_n(x)|\cdot|b_n(x)-b_{n-1}(x)|\\ &\boxed{\sum^{k-1}_{n=m+1}|A_n(x)|\cdot|b_n(x)-b_{n-1}(x)|\leq c\sum^{k-1}_{n=m+1}|b_n(x)-b_{n+1}(x)|=c\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|=c|b_{m+1}(x)-b_k(x)\leq 2c(|b_x(x)|+|b_{m+1}(x)|)}\\ &\leqslant c\cdot\left(|b_k(x)|+|b_{m+1}(x)|+|b_{m+1}(x)-b_{k}(x)|\right)\\ &\leqslant 4c\cdot \max\{|b_k(x)|,|b_{m+1}(x)|\}\ldots \end{aligned}

Знаем, что $b_n\overset{D}{\rightrightarrows} 0$ , то есть $\forall \ve>0, \exists N\in\NN:\forall n>N, \forall x\in D\hookrightarrow|b_n(x)|<\frac{\ve}{4c}$ , тогда в итоге получим $\ldots < 4c\cdot\displaystyle\frac{\ve}{4c}=\ve$

Значит, выполняется критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов, то есть $\forall \ve > 0, \exists \tilde N > N\colon \forall k > m > \tilde N, \forall x \in D,$ верно

\left|\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)b_n(x)\right|<\ve\Longrightarrow\text{ ряд }\sum_{n=m+1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}

Признак Абля¶

Theorem 11.7 (Признак Абля)

\left.\begin{aligned} &a_n,b_n:D\to\mathbb{R}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\\ &\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\text{ монотонна } \forall \text{ фикс. } x \in D \text{ по } n \\ &\exists c>0\colon \forall n>\mathbb{N},\forall x\in D, |b_n(x)|\leqslant c \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}

Proof

Обозначим

\alpha_k^m(x)=A_k(x)-A_m(x)=\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)

Обратим внимание, что $\alpha_m^m=0$ . В любом случае получаем, что

\begin{align*} a_n(x)&=\alpha_n^m(x)-\alpha_{n-1}^{m}(x)\\&=A_n(x)-A_m(x)-A_{n-1}(x)+A_m(x)=A_n(x)-A_{n-1}(x) \end{align*}

Рассмотрим $\left|\sum_{n=m+1}^{k} a_n(x)b_n(x)\right|$ :

\begin{aligned} \left|\sum_{n=m+1}^{k} a_n(x)b_n(x)\right|&=\left|\sum_{n=m+1}^{k}(\alpha_n^m(x)-\alpha_{n-1}^{m}(x))b_n(x)\right|\\ &\leqslant |\alpha_{k}^m(x)b_k(x)|+|\alpha_{m}^m(x)b_{m+1}(x)|+\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}\alpha_{n}^m(x)(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|\\ &\leqslant |\alpha_{k}^m(x)|\cdot|b_k(x)|+\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}\alpha_{n}^m(x)(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|\\ &<\frac{\ve}{3c}\cdot c+\frac{\ve}{3c}\cdot|b_{m+1}(x)-b_k(x)|\\ &<3c\cdot\frac{\ve}{3c} \end{aligned}

$\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ — монотонна на $D\Longrightarrow b_n(x)-b_{n+1}(x)` одного знака$ \forall n$
$|b_n(x)|\leqslant c\ \forall x\in D\ \forall n\in\mathbb{N}$
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\quad \forall\ve>0\ \exists N:\ \forall k>m>N:\ |\alpha_k^m(x)|<\frac{\ve}{3}$

Значит, $\forall\ve>0\ \exists N:\ \forall k>m>N\ \forall x\in D\hookrightarrow\left|\sum_{n=m+1}^{k}a_m(x)b_n(x)\right|<\ve$ , следовательно ряд сходится равномерно на $D$ по критерию Коши

Конспекты

Лекция 10. Неравномерная сходимость, интегрирование, дифференцирование функциональных последовательностей

Конспекты

Лекция 12. Функциональные ряды-2. Степенные ряды-1