Лекция 11. Функциональные ряды-1 Artemis Feidenheimer
Higher School of Economics
October 22, 2025
Функциональные ряды—1 ¶ Пусть D ⊂ R D\subset\mathbb{R} D ⊂ R f n , S : D → R ( ∀ n ∈ N ) f_n, S:D\to\mathbb{R}\ (\forall n\in\mathbb{N}) f n , S : D → R ( ∀ n ∈ N ) S k ( x ) = ∑ n = 1 k f n ( x ) S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x) S k ( x ) = ∑ n = 1 k f n ( x )
Если ∃ S ( x ) : S k ⟶ D S \exists S(x): S_k\overset{D}{\longrightarrow}S ∃ S ( x ) : S k ⟶ D S ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) сходится поточечно к S ( x ) S(x) S ( x ) D D D
Если ∃ S ( x ) : S k ⇉ D S \exists S(x): S_k\overset{D}{\rightrightarrows}S ∃ S ( x ) : S k ⇉ D S ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) сходится равномерно к S ( x ) S(x) S ( x )
Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда ¶ Пусть f n : D → R ∀ n ∈ N f_n:D\to\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N} f n : D → R ∀ n ∈ N ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) ⇉ D \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) ⇉ D
∀ ε > 0 ∃ N : ∀ m > k > N ∀ x ∈ D ↪ ∣ S m ( x ) − S k ( x ) ∣ = ∣ ∑ n = k + 1 m f n ( x ) ∣ < ε \forall \ve>0\ \exists N:\ \forall m>k>N\ \forall x\in D\hookrightarrow |S_m(x)-S_k(x)|=\left|\sum_{n=k+1}^{m}f_n(x)\right|<\ve ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ m > k > N ∀ x ∈ D ↪ ∣ S m ( x ) − S k ( x ) ∣ = ∣ ∣ n = k + 1 ∑ m f n ( x ) ∣ ∣ < ε Следует из критерия Коши для функциональных последовательностей
S i ( x ) = ∑ n = 1 i f n ( x ) S_i(x)=\sum_{n=1}^{i}f_n(x) S i ( x ) = n = 1 ∑ i f n ( x ) Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда ¶ Пусть {math}\left.\begin{aligned} &f_n:D\to\mathbb{R}\ (\forall n\in\mathbb{N})\\ &\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}0
∑ n = 1 ∞ f n ( x ) ⇉ D \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) ⇉ D
∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k , k − 1 > N ∀ x ∈ D ↪ ∣ S k ( x ) − S k − 1 ( x ) ∣ = ∣ f k ( x ) ∣ < ε \forall\ve>0\ \exists N:\ \forall k,k-1>N\ \forall x\in D\hookrightarrow |S_k(x)-S_{k-1}(x)|=|f_{k}(x)|<\ve ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k , k − 1 > N ∀ x ∈ D ↪ ∣ S k ( x ) − S k − 1 ( x ) ∣ = ∣ f k ( x ) ∣ < ε Получаем, что ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k > N + 1 ∀ x ∈ D ↪ ∣ f k ( x ) ∣ < ε \forall\ve>0\ \exists N:\ \forall k>N+1\ \forall x\in D\hookrightarrow |f_k(x)|<\ve ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k > N + 1 ∀ x ∈ D ↪ ∣ f k ( x ) ∣ < ε f k ( x ) ⇉ D 0 f_k(x)\overset{D}{\rightrightarrows}0 f k ( x ) ⇉ D 0
Ряд ∑ n = 1 ∞ a n ( x ) \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x) ∑ n = 1 ∞ a n ( x ) сходится абсолютно , если
∀ x 0 ∈ ∑ n = 1 ∞ a n ( x 0 ) — сходится абсолютно \forall x_0\in \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x_0)\text{ — сходится абсолютно} ∀ x 0 ∈ n = 1 ∑ ∞ a n ( x 0 ) — сходится абсолютно Признак сравнения ¶ Имеется {math}\left.\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\text{ и }\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x):\\ &\exists N\ \forall n>N\ \forall x\in D\ |a_n(x)|\leqslant b_n(x)\\ &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\text{ и }\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\text{ сходится абсолютно }D
Докажем по критерию Коши
( ⋆ ) ∣ a m + 1 ( x ) + … + a k ( x ) ∣ ⩽ ∣ a m + 1 ( x ) ∣ + … + ∣ a k ( x ) ∣ ⩽ ∀ m , k > N ∀ x ∈ D b m + 1 ( x ) + … + b k ( x ) < ∀ m , k > N 1 ∀ x ∈ D ε (\star)\quad |a_{m+1}(x)+\ldots+a_k(x)|\leqslant |a_{m+1}(x)|+\ldots+|a_k(x)|\underset{\forall m,k>N\forall x\in D}{\leqslant}b_{m+1}(x)+\ldots+b_{k}(x)\underset{\forall m, k>N_1 \forall x\in D}{<}\ve ( ⋆ ) ∣ a m + 1 ( x ) + … + a k ( x ) ∣ ⩽ ∣ a m + 1 ( x ) ∣ + … + ∣ a k ( x ) ∣ ∀ m , k > N ∀ x ∈ D ⩽ b m + 1 ( x ) + … + b k ( x ) ∀ m , k > N 1 ∀ x ∈ D < ε Получаем, что
∀ ε > 0 ∃ N ∼ = max { N , N 1 } : ∀ k > m > N ∼ ∀ x ∈ D ↪ ∣ a m + 1 ( x ) + … + a k ( x ) ∣ < ε ⟹ ∑ n = 1 ∞ a n ( x ) ⇉ D \forall\ve>0\ \exists \overset{\sim}{N}=\max\{N,N_1\}: \forall k>m>\overset{\sim}{N}\ \forall x\in D\hookrightarrow|a_{m+1}(x)+\ldots+a_k(x)|<\ve\Longrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} ∀ ε > 0 ∃ N ∼ = max { N , N 1 } : ∀ k > m > N ∼ ∀ x ∈ D ↪ ∣ a m + 1 ( x ) + … + a k ( x ) ∣ < ε ⟹ n = 1 ∑ ∞ a n ( x ) ⇉ D Так как ( ⋆ ) (\star) ( ⋆ ) x ∈ D x\in D x ∈ D ∀ x 0 ∈ D \forall x_0\in D ∀ x 0 ∈ D
∀ ε > 0 ∃ N ∼ = max { N , N 1 } : ∀ k > m > N ∼ ↪ ∣ a m + 1 ( x ) ∣ + … + ∣ a k ( x ) ∣ < ε , \forall\ve>0\ \exists \overset{\sim}{N}=\max\{N,N_1\}: \forall k>m>\overset{\sim}{N}\hookrightarrow |a_{m+1}(x)|+\ldots+|a_k(x)|<\ve, ∀ ε > 0 ∃ N ∼ = max { N , N 1 } : ∀ k > m > N ∼ ↪ ∣ a m + 1 ( x ) ∣ + … + ∣ a k ( x ) ∣ < ε , то есть ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ( x 0 ) ∣ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n(x_0)| ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ( x 0 ) ∣ ∀ x 0 ∈ D \forall x_0\in D ∀ x 0 ∈ D
Мажорантный признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда ¶ {math}\left.\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x):\\ &\exists N\ \forall n>N\ \sup\limits_{D}|a_n(x)|\leqslant M_n\\ &\sum_{n=1}^{\infty} M_n\text{ — сходится} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}a_n\overset{D}{\rightrightarrows}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ сходится абсолютно на }D \end{aligned}
Если в признаке сравнения принять, что ∀ n ∈ N b n ( x ) = M n = const ( n ) \forall n\in \mathbb{N}\ b_n(x)=M_n=\text{const}(n) ∀ n ∈ N b n ( x ) = M n = const ( n )
Частичные суммы ряда ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) : S k ( x ) = ∑ n = 1 k f n ( x ) \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x):S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x) ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) : S k ( x ) = ∑ n = 1 k f n ( x ) равномерно ограничены на D D D
∃ c > 0 : ∀ k ∈ N , ∀ x ∈ D ↪ ∣ S k ( x ) ∣ ⩽ c \exists c>0:\ \forall k\in\mathbb{N},\forall x\in D\hookrightarrow|S_k(x)|\leqslant c ∃ c > 0 : ∀ k ∈ N , ∀ x ∈ D ↪ ∣ S k ( x ) ∣ ⩽ c Последовательность функций { f n ( x ) } n = 1 ∞ \{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty} { f n ( x ) } n = 1 ∞ монотонна на D D D n n n ∀ x 0 ∈ D \forall x_0\in D ∀ x 0 ∈ D { f n ( x 0 ) } n = 1 ∞ \{f_n(x_0)\}_{n=1}^{\infty} { f n ( x 0 ) } n = 1 ∞
∀ x 0 ∈ D b n ( x 0 ) ⩾ b n + 1 ( x 0 ) или b n ( x 0 ) ⩽ b n + 1 ( x 0 ) \forall x_0\in D\ b_n(x_0)\geqslant b_{n+1}(x_0)\text{ или }b_n(x_0)\leqslant b_{n+1}(x_0) ∀ x 0 ∈ D b n ( x 0 ) ⩾ b n + 1 ( x 0 ) или b n ( x 0 ) ⩽ b n + 1 ( x 0 ) Преобразование Абеля ¶ Здесь обозначения a n a_n a n a n ( x ) a_n(x) a n ( x )
Пусть { a n ( x ) } n = 1 ∞ \{a_n(x)\}_{n=1}^{\infty} { a n ( x ) } n = 1 ∞ { b n ( x ) } n = 1 ∞ \{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty} { b n ( x ) } n = 1 ∞ ∀ k > m ∈ N \forall k>m\in\mathbb{N} ∀ k > m ∈ N
∑ n = m + 1 k ( a n − a n − 1 ) b n = a k b k − a m b m + 1 + ∑ n = m + 1 k − 1 a n ( b n − b n + 1 ) \sum_{n=m+1}^{k}\left(a_n-a_{n-1}\right)b_n=a_kb_k-a_mb_{m+1}+\sum_{n=m+1}^{k-1}a_n\left(b_n-b_{n+1}\right) n = m + 1 ∑ k ( a n − a n − 1 ) b n = a k b k − a m b m + 1 + n = m + 1 ∑ k − 1 a n ( b n − b n + 1 ) ∑ n = m + 1 k ( a n − a n − 1 ) b n = ∑ n = m + 1 k a n b n − ∑ n = m + 1 k a n − 1 b n сдвинем индексы на 1 во второй сумме ∑ n = m + 1 k a n b n − ∑ n = m k − 1 a n b n + 1 отщипнем лишнее, то есть вытащим из суммы a k b k = a k b k + ∑ n = m + 1 k − 1 a n b n − a m b m + 1 − ∑ n = m + 1 k − 1 a m b n + 1 = a k b k − a m b m + 1 + ∑ n = m + 1 a n ( b n − b n + 1 ) \begin{aligned}
\sum_{n=m+1}^{k}(a_n-a_{n-1})b_n&=\sum_{n=m+1}^{k}a_nb_n-\sum_{n=m+1}^k a_{n-1}b_n\\
&\text{сдвинем индексы на 1 во второй сумме}\\
&\sum_{n=m+1}^{k}a_nb_n-\sum_{n=m}^{k-1}a_nb_{n+1}\\
&\text{отщипнем лишнее, то есть вытащим из суммы }a_kb_k\\
&=a_kb_k+\sum_{n=m+1}^{k-1}a_nb_n-a_mb_{m+1}-\sum_{n=m+1}^{k-1}a_mb_{n+1}\\
&=a_kb_k-a_mb_{m+1}+\sum_{n=m+1}a_n(b_n-b_{n+1})
\end{aligned} n = m + 1 ∑ k ( a n − a n − 1 ) b n = n = m + 1 ∑ k a n b n − n = m + 1 ∑ k a n − 1 b n сдвинем индексы на 1 во второй сумме n = m + 1 ∑ k a n b n − n = m ∑ k − 1 a n b n + 1 отщипнем лишнее , то есть вытащим из суммы a k b k = a k b k + n = m + 1 ∑ k − 1 a n b n − a m b m + 1 − n = m + 1 ∑ k − 1 a m b n + 1 = a k b k − a m b m + 1 + n = m + 1 ∑ a n ( b n − b n + 1 ) Признак Дирихле ¶ {math}\left.\begin{aligned} &a_n,b_n:D\to\mathbb{R}\\ &\exists c>0:\forall k\in\mathbb{N},\forall x\in D\ |A_k(x)|\leqslant c\\ &\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\text{ — монотонна на }D\\ &b_n\overset{D}{\rightrightarrows} 0 \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}
Докажем по критерию Коши. Пусть A k ( x ) = ∑ n = 1 k a n ( x ) A_k(x)=\sum_{n=1}^k a_n(x) A k ( x ) = ∑ n = 1 k a n ( x ) a n ( x ) = A n ( x ) − A n − 1 ( x ) a_n(x)=A_n(x)-A_{n-1}(x) a n ( x ) = A n ( x ) − A n − 1 ( x )
Рассмотрим
∣ ∑ n = m + 1 k a n ( x ) b n ( x ) ∣ = ∣ ∑ n = m + 1 k ( A n ( x ) − A n − 1 ( x ) ) b n ( x ) ∣ выполним преобразование Абеля = ∣ A k ( x ) b k ( x ) − A m ( x ) b m + 1 ( x ) + ∑ n = m + 1 k − 1 A n ( x ) ( b n ( x ) − b n + 1 ( x ) ) ∣ ⩽ ∣ A k ( x ) ∣ ⏟ ⩽ c ⋅ ∣ b k ( x ) ∣ + ∣ A m ( x ) ∣ ⏟ ⩽ c ⋅ ∣ b m + 1 ( x ) ∣ + max m + 1 ⩽ n ⩽ k − 1 ∣ A n ( x ) ∣ ⏟ ⩽ c ⋅ ∣ ∑ n = m + 1 k − 1 ( b n ( x ) − b n + 1 ( x ) ) ∣ ⩽ c ⋅ ( ∣ b k ( x ) ∣ + ∣ b m + 1 ( x ) ∣ + ∣ b m + 1 ( x ) − b k ( x ) ∣ ) ⩽ c ⋅ 4 ⋅ max { ∣ b k ( x ) ∣ , ∣ b m + 1 ( x ) ∣ } ⏟ ( ⋆ ) \begin{aligned}
\left|\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)b_n(x)\right|&=\left|\sum_{n=m+1}^{k}\left(A_n(x)-A_{n-1}(x)\right)b_n(x)\right|\\
&\text{выполним преобразование Абеля}\\
&=\left|A_k(x)b_k(x)-A_m(x)b_{m+1}(x)+\sum_{n=m+1}^{k-1}A_n(x)\left(b_n(x)-b_{n+1}(x)\right)\right|\\
&\leqslant\underbrace{|A_k(x)|}_{\leqslant c}\cdot|b_k(x)|+\underbrace{|A_m(x)|}_{\leqslant c}\cdot|b_{m+1}(x)|+\max\limits_{m+1\leqslant n\leqslant k-1}\underbrace{|A_n(x)|}_{\leqslant c}\cdot\left|\sum_{n=m+1}^{k-1}(b_n(x)-b_{n+1}(x))\right|\\
&\leqslant c\cdot\left(|b_k(x)|+|b_{m+1}(x)|+|b_{m+1}(x)-b_{k}(x)|\right)\\
&\leqslant \underbrace{c\cdot 4\cdot \max\{|b_k(x)|,|b_{m+1}(x)|\}}_{(\star)}
\end{aligned} ∣ ∣ n = m + 1 ∑ k a n ( x ) b n ( x ) ∣ ∣ = ∣ ∣ n = m + 1 ∑ k ( A n ( x ) − A n − 1 ( x ) ) b n ( x ) ∣ ∣ выполним преобразование Абеля = ∣ ∣ A k ( x ) b k ( x ) − A m ( x ) b m + 1 ( x ) + n = m + 1 ∑ k − 1 A n ( x ) ( b n ( x ) − b n + 1 ( x ) ) ∣ ∣ ⩽ ⩽ c ∣ A k ( x ) ∣ ⋅ ∣ b k ( x ) ∣ + ⩽ c ∣ A m ( x ) ∣ ⋅ ∣ b m + 1 ( x ) ∣ + m + 1 ⩽ n ⩽ k − 1 max ⩽ c ∣ A n ( x ) ∣ ⋅ ∣ ∣ n = m + 1 ∑ k − 1 ( b n ( x ) − b n + 1 ( x )) ∣ ∣ ⩽ c ⋅ ( ∣ b k ( x ) ∣ + ∣ b m + 1 ( x ) ∣ + ∣ b m + 1 ( x ) − b k ( x ) ∣ ) ⩽ ( ⋆ ) c ⋅ 4 ⋅ max { ∣ b k ( x ) ∣ , ∣ b m + 1 ( x ) ∣ } Знаем, что b n ⇉ D 0 b_n\overset{D}{\rightrightarrows} 0 b n ⇉ D 0 ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N ∀ x ∈ D ↪ ∣ b n ( x ) ∣ < ε 4 c \forall \ve>0\ \exists N:\forall n>N\ \forall x\in D\hookrightarrow|b_n(x)|<\frac{\ve}{4c} ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N ∀ x ∈ D ↪ ∣ b n ( x ) ∣ < 4 c ε ( ⋆ ) < 4 c ⋅ ε 4 c = ε (\star)<4c\cdot\displaystyle\frac{\ve}{4c}=\ve ( ⋆ ) < 4 c ⋅ 4 c ε = ε
Значит, выполняется критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов, то есть
∣ ∑ n = m + 1 k a n ( x ) b n ( x ) ∣ < ε ⟹ ряд ∑ n = m + 1 ∞ a n ( x ) b n ( x ) ⇉ D \left|\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)b_n(x)\right|<\ve\Longrightarrow\text{ ряд }\sum_{n=m+1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows} ∣ ∣ n = m + 1 ∑ k a n ( x ) b n ( x ) ∣ ∣ < ε ⟹ ряд n = m + 1 ∑ ∞ a n ( x ) b n ( x ) ⇉ D