Лекция 4. Компакты в ℝⁿ

Компакты в $\mathbb{R}^n$ ¶

Proof 4.1

(От противного) Рассмотрим замкнутый брус $I=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_n, b_n]$ .

Предположим, что $I$ не компакт, тогда $\exists$ какое-то покрытие открытыми множествами $\{A_\alpha\}_{\alpha\in Z}$ , где $Z$ — какое-то множество, где $I\subset\{A_\alpha\}$ , не позволяющее выделить конечное подпокрытие.
Поделим каждую сторону бруса $I$ пополам. Хотя бы один из полученных брусов не допускает выделения конечного подпокрытия (иначе $I$ — компакт). Обозначим его $I_1$ .
Повторим процесс деления ещё и ещё и получим систему вложенных брусков.
$I \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots$
Таким образом, по теореме о вложенных отрезках $\exists !$ предельная точка $\displaystyle \vec a=(a_1,\ldots,a_n)\in\bigcap^\infty_{i=1} I_i, \exists! \vec a=\in\RR^n\colon a\in I_n$ при $n\to\infty$
Таким образом, $\exists \alpha_0, \vec a \in I\implies A_{\alpha_0}\colon \vec a \subset A_{\alpha_0}\oplus A_{\alpha_0}$ — открытое $\implies\exists r>0\colon \ball_r(a)\subset A_{\alpha_0}$ .
Знаем, что $d(I_n)\to 0$ при $n\to\infty$ , т. е. $\exists N\colon\forall n>N,$
$\vec a \subset \cdots \subset [I_{N+1} \subset I_{N+2} \cdots \to\infty] \subset \ball_r(\vec a) \subset A_{\alpha_0}$
получаем, что бесконечное количество брусов покрыто только $A_{\alpha_0}$ из системы $\{A_\alpha\}\implies$ весь брус $I$ можно покрыть конечным числом множеств из $\{A_{\alpha_0}\}\implies$ получили противоречие $\implies$ получили компакт в $\RR^n$ .

Критерий компактности¶

Proof 4.2

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

Ограниченность
Пусть $\KK$ — компакт, покроем его $\KK \subset \{\ball_r(0)\}^\infty_{r\in\NN}$ — покрытие открытыми шарами $\implies\exists N, \KK \subset \ball_N(0)$ , где $\{\ball_r(0)\}^N_{r=1}$ — конечное подпокрытие $\implies \KK$ — ограничено по определению.
Замкнутость (От противного)
$\KK$ — компакт, но не замкнуто, т. е. он не содержит ВСЕ предельные точки:
1. Пусть $\exists x_0\not\in \KK\colon x_0$ — предельная точка для $\KK\colon\forall\varepsilon>0,\overset{\circ}\ball_\varepsilon(x_0)\cap \KK\neq\varnothing$ .
2. Рассмотрим покрытие $\{\ball_{\frac{\delta(x)}{2}}(x)\}_{x\in \KK}$ , где $\delta(x)=||x-x_0||$ .
3. Так как $\KK$ — компакт $\implies\exists x_1,\ldots,x_k\colon \KK\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^k \ball_{\frac{\delta(x_i)}{2}}(x_i)$ .
4. Возьмём $\displaystyle \delta=\min_{1\leq i\leq k}\{\delta(x_i)\}$ , тогда $\displaystyle \ball_{\frac{\delta}{2}}(x_0)\cap\left(\bigcup^k_{i=1}\ball_{\frac{\delta(x_i)}{2}}(x_i)\right)=\varnothing\implies \ball_{\frac{\delta}{2}}(x_0)\cap \KK=\varnothing$ и тем более, $\overset{\circ}\ball_{\frac{\delta}{2}}(x_0)\cap \KK=\varnothing\implies x_0$ не является предельной точкой $\KK\implies$ получили противоречие $\implies\KK$ замкнуто.

$(\Leftarrow)$ Достаточность. $\KK$ замкнуто и ограничено $\xRightarrow{?} \KK$ — компакт.

$\KK$ ограничено $\exists r>0, \KK \subset \ball_r(0)$ Пусть $\exists$ замкнутый брус $I=[-r,r]^n\supset \KK$ .
Пусть $\{A_\alpha\}$ — покрытие открытыми множествами $\KK$ , тогда $\{A_\alpha\}\cup\{\RR^n\setminus \KK\}$ — покрытие открытыми множествами $I$ , так как $\KK$ замкнуто, но $I$ — брус в $\RR^n \implies I$ — компакт $\implies$ из покрытия $\{A_{\alpha_i}\}^s_{i=1}\cup\{\RR^n\setminus \KK\}\supset I$ всегда можно выделить конечное подпокрытие. Тогда удаляя $\RR^n\setminus \KK$ , получим конечное подпокрытие из $\{A_\alpha\}$ для $\KK$ . (т. к. $\{A_\alpha\}$ — произвольное покрытие открытого множества $\KK$ ).

Теорема Вейерштрасса о непрерывной на компакте функции¶

Proof 4.3

Ограниченность (От противного)

Предположим, что $f$ — не ограниченная на $\KK$ . $\implies\exists\{\vec x^k\}_{k=1}^\infty\subset \KK$ , что $|f(\vec x^k)|>k$ .

\vec x^k=(x_1^k,\ldots,x^k_n)

$\KK$ — компакт $\implies K$ замкнуто и ограничено $\implies\{\vec x^k\}$ ограничено $\implies \exists c,||\vec x^k||\leq c,\implies\{x^k\}^\infty_{k=1}$ ограничена

\forall i, |x_i^k|=\sqrt{|x^k_i|^2}\leq||\vec x^k||=\sqrt{(x')^1+\ldots+(x^n)^2}\leq c

$\implies\{x_i^k\}^\infty_{k=1}$ ограничена, тогда получаем, что по теореме Больцано-Вейерштрасса (из $\forall$ ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность)

$\{x^k\}=\{(x^k_1,x^k_2,\ldots,x^k_n)\}\implies\{x^k_1\}_{k=1}^\infty$ — ограниченная $\implies \exists$ сходящаяся последовательность $\{x^{k_{j_1}}_1\}, \to a_1$ , $\{x^{k_{j_1}}\}=\{(\underset{\to a_1}{x_1^{k_{j_1}}},\underset{\to a_2}{x_2^{k_{j_1}}},...,\underset{\to a_n}{x_n^{k_{j_1}}})\}$ для всех координат поочерёдно.

Выберем в ограниченной $\{x_1^{k_{j_1}}\}$ сходящуюся подпоследовательность $\{x^{k_{j_2}}_2\}$ . $x_2^{k_{j_2}}\to a_2$ . $\{x_{k_{j_2}}\}=\{(x^{k_{j_2}}_1,x^{k_{j_2}}_2,\ldots,x^{k_{j_2}}_n)\}$ . Получили точку $\vec a = (a_1,\ldots, a_n)$ , к которой сходится последовательность.

$\{x^{k_{j_n}}\}^\infty_{j_n=1},x^{k_{j_n}}\to(a_1,\ldots, a_n)=\vec a \implies x^{k_{j_n}}\xrightarrow{j_n\to\infty} a$ , т. е. $a$ предел $\KK$ .

Так как $\KK$ — компакт $\implies \KK$ замкнуто $\implies \KK$ содержит все свои предельные точки $\implies a \in \KK + f\in \contclass(\KK)\implies f$ — непрерывная в т. $\vec a \implies$

$\exists\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(a)$ , по условию непрерывности функции $f$ на $\KK$ . С другой стороны, $|f(x^{k_{j_n}})| \to \infty$ при $j_n \to \infty$ .

$|f(x^k)|>k\implies$ противоречие $\implies f$ ограничена на $\KK$ .

Теперь докажем достижимость $\sup$ (т.е., что $\displaystyle\exists x_0 \in \KK\colon f(x_0)=\sup_{x\in\KK}f(x)$ ).

Есть последовательность $\{x^s\}^\infty_{s=1}\in\KK$ .

\sup_{x\in\KK} f(x)-\frac{1}{s}\leq f(y_s)\leq\sup_{x\in\KK} f(x)

$\{x^s\}$ ограничена $\implies$ как и в первом пункте можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{x^{s_{j_n}}\}\xrightarrow[j_n\to\infty]{} x_0$ .