Лекция 7. Интеграл Римана на допустимых множествах

Допустимое множество¶

Интеграл Римана¶

Definition 7.2 (Интеграл Римана)

$\fset\subset\RR^n$ допустимое множество, $f\colon \fset\mapsto\RR$ . Тогда интегралом Римана $f$ по $\fset$ будем называть число $\mathcal{I}$ .

\mathcal{I}=\int\limits_Df(\vec x)\d \vec x=\int\limits_{I\supset \fset}f\cdot \chi_D(\vec x)\d \vec x

где $I$ — произвольный брус в $\RR^n\colon \fset\subset I$ .

Характеристическая функция:

\chi_D=\begin{cases} 1, & \vec x \in \fset\\ 0, & \vec x \not\in \fset \end{cases}

Если $\exists$ такое $\mathcal{I}<\infty$ , то $f\in\mathcal{R}(\fset)$ .

Proof

$\fset\subset \RR^n$ — допустимое множество.
$I_1, I_2$ — замкнутые брусы: $\fset\subset I_1$ , $\fset\subset I_2$ , тогда интегралы $\displaystyle\int\limits_{I_1\supset \fset}f\cdot \chi_D\d \vec x$ и $\displaystyle\int\limits_{I_2\supset \fset}f\cdot \chi_D\d \vec x$ либо одновременно $\exists$ и равны; либо оба $\cancel\exists$ .

$I=I_1\cap I_2\colon \fset\subset I$

$f\cdot\chi_D\in\mathcal{R}(I_1)\implies$ по критерию Лебега $f\cdot\chi_D$ ограничена на $I_1\implies f\cdot\chi_D$ ограничена на $\fset\implies f$ ограничена на $\fset\implies f\cdot\chi_D$ ограничена на $I_2$ .

Получаем, что по критерию Лебега $f\cdot\chi_D$ непрерывна почти всюду на $I_1\implies f\cdot\chi_D$ непрерывна почти всюду на $\fset\implies f$ непрерывна почти всюду на $\fset$ .

В худшем случае для $f\cdot\chi_D$ на $I_2$ добавятся разрывы на $\partial \fset\implies f\cdot\chi_D$ непрерывна почти всюду на $I_2$ .

Покажем, что равны:

$\TT_i$ — разбиение на $I_i\colon \TT_1$ и $\TT_2$ совпадают на общей части $I_1\cap I_2$ .
$\xi^i$ — отмеченные точки $I_i\colon$ совпадают на общей части.

\begin{align*} \sigma(f\cdot\chi_D,\TT_1,\xi^1)&=\sum_jf\chi_D(\xi^1_j)|I^1_j|=\sum_j f\cdot\chi_D(\xi_i)|I_j|\\ &=\sum_jf\cdot\chi_D(\xi_j^2)|I^2_j|=\sigma(f\cdot\chi_D,\TT_2,\xi^2) \end{align*}

Теорема Фубини¶

Theorem 7.1 (Фубини)

$I_x\subset\RR^n,I_y\subset\RR^m, I_x\times I_y\subset \RR^n \times \RR^m = \RR^{n+m}$ — замкнутые брусы.
$f\colon I_x\times I_y\to\RR$
$f\in\intclass(I_x\times I_y)$ и $\forall$ фиксированного $x\in I_x$ верно, что $f(x,y)\in\intclass(I_y)\implies$

\int\limits_{I_x\times I_y}f(\vec x, \vec y)\d \vec x,\d\vec y=\int\limits_{I_x}\left(\int\limits_{I_y}f(\vec x, \vec y)\d\vec y\right)\d \vec x=\int\limits_{I_x}\d \vec x\int\limits_{I_y}f(\vec x,\vec y)\d \vec y

Example 7.3 (Функция, к которой теорема Фубини не применима)

$\displaystyle f(x, y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ на $\fset=[-1, 1]^2$
$\displaystyle \lim_{y\to 0} f(0, y)=\lim_{y \to 0}\frac{-y^2}{y^4}=-\infty$ — функция неограниченная $\implies f(x, y)\notin\intclass(\fset)$

Попробуем перейти к повторному интегралу.

\begin{align*}\int\limits_{-1}^1\int\limits_{-1}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\d x\d y &=\int\limits_{-1}^1\int\limits_{-1}^1\left(\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)\d x\d y\\ &=\int\limits_{-1}^1\left(\frac{1}{y}\arctg\frac{x}{y}\Biggm|_{-1}^1\right)\d x\d y\\ \end{align*}

\begin{align*} \int\limits_{-1}^1\int\limits_{-1}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\d x\d y &=\int\limits_{-1}^1\int\limits_{-1}^1\left(\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)\d x\d y\\ &=\int\limits_{-1}^1\left(-\frac{x}{x^2+y^2}\Biggm|_{-1}^1\right)\d y\\ &=\int\limits_{-1}^1\left(-\frac{1}{1^2+y^2} - \left(-\frac{-1}{(-1)^2+y^2}\right)\right)\d y\\ &=\int\limits_{-1}^1\left(-\frac{1}{1+y^2} - \frac{1}{1+y^2}\right)\d y\\ &=\int\limits_{-1}^1-\frac{2}{1+y^2}\d y\\ &=-2\left[\arctg y\right]_{-1}^1=-2\left(\arctg 1 - \arctg (-1)\right)\\ &=-2\left(\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=-2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right)\\ &=-2\left(\frac{2\pi}{4}\right)=-2\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\pi \end{align*}

Proof 7.1

$\TT_x=\{I_i^x\}, \TT_y=\{I_j^y\}$ — разбиения на $I_x, I_y\implies$
$\TT_{x,y}$ — разбиение на $I_x\times I_y$ . $\TT_{x, y}=\{I_i^x\times I_j^y\}=\{I_{ij}\}\implies$
$|I_{ij}|=|I^x_i|\cdot|I^y_j|$

Будем пользоваться $f\in\mathcal{R}(I_x\times I_y)\implies \exists$ (1) + по критерию Дарбу
$\implies \Il=\Iu=\II$ .
$\begin{align*} \underset{\xrightarrow[\Delta_{\TT}\to 0]{}\II}{\Sl(f,\TT_{x,y})} &=\sum_{i,j}\inf_{(\vec x,\vec y)\in (I^x_i\times I_j^y)} f(\vec x,\vec y)\cdot|I_{ij}|\\ &\leq\sum_{i,j}\inf_{\overset{\scriptstyle x\in I_i^x}{y\in I^y_j}} f(x,y)\cdot|I_i^x|\cdot|I_j^y|\\ &\leq\sum_{i,j}\inf_{x\in I_i^x}\left(\inf_{y\in I^y_j} f(x,y)\cdot|I_j^y|\right)\cdot|I_i^x|\\ &=\sum_i\inf_{x\in I_i^x}\underbrace{\left(\sum_j\inf_{y\in I_j^y}f(x,y)\cdot|I^y_j|\right)}_{\Sl(\tilde f(y),\TT_y)}\cdot|I^x_i|\\ &\leq\sum_i\inf_{x\in I^x_i}\underbrace{\left(\int\limits_{I_y}f(x,y)\d y\right)}_{g(x)}|I_i^x|=\sum_i\inf_{x\in I^x_i}g(x)\cdot |I_i^x|\\ &=\Sl(g(x),\TT_x)\leq\Su(g(x),\TT_x)\leq\underbrace{\ldots}_{\text{так же для }\sup}\\ &\leq\sum_i\sup_{x\in I_i^x} g(x) \cdot |I^x_i| \leq \ldots \leq \Su(f,\TT_{x,y})\\ \end{align*}$

\begin{align*} &\Sl(f,\TT_{x,y}) \underset{\xrightarrow[\Delta_{\TT}\to 0]{}\II}{\leq\Sl(g(x),\TT_x)} \leq\underset{\xrightarrow[\Delta_{\TT}\to 0]{}\II}{\Su(g,\TT_x)} \leq\Su(f,\TT_{x,y})\\ \implies&\exists \Il=\lim_{\Delta_\TT\to0}\Sl(g(x),\TT_x)=\II=\lim_{\Delta_\TT\to0}\Su(g(x),\TT_x)=\Iu \end{align*}

Аналогично доказываем для $y \implies$ теорема доказана.

Замена переменных¶

Theorem 7.2 (Замена переменных в критерии интегрирования)

$M_1,M_2\subset\RR^n$ — открытые множества.
$\varphi\colon M_1\to M_2$ — биективное отображение.
$\varphi,\varphi^{-1}\in \diffclass$ — непрерывно дифференцируемы.
$\fset\colon\overline{\fset}\subset M_1$ — допустимое множество.
$f\colon\varphi(\fset)\mapsto\RR$ .
$f(x)\in\mathcal{R}(\varphi(\fset))\iff f(\varphi(t))\cdot|\det\mathcal{J}_\varphi(t)|\in\mathcal{R}(\fset)$ , причём

\int\limits_{\varphi(\fset)}f(x)\d x=\int\limits_{\fset}f(\varphi(t))\cdot|\det\mathcal{J}_\varphi(t)|\d t\qquad \mathcal{J}_\varphi(t)=\begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi_1}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial\varphi_1}{\partial t_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial\varphi_n}{\partial t_1} & \cdots & \frac{\partial\varphi_n}{\partial t_n} \end{pmatrix}

Конспекты

Лекция 6. Суммы Дарбу

Конспекты

Лекция 8. Функциональные последовательности-1