Лекции 10–11. Интегрирование, дифференцирование функциональных последовательностей

Теорема о неравномерной сходимости при расходимости в точке¶

Proof 10.1

От противного.

$f_n\xrightarrow{(a, b)} f$ следует из условия.
Пусть $f_n\overset{(a,b)}{\uniconverges} f$ , тогда по Критерию Коши

\forall\ve>0,\exists N(\ve)\colon\forall n,m>N,\forall x\in(a,b)\hookrightarrow|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\ve}{3}

$f_n\in \contclass[a, b)$ , тогда
$\begin{align*}\forall n \in \NN, \forall x_0\in[a, b)&\hookrightarrow\forall\ve>0,\exists\delta(x_0,\ve)>0,\forall x\in \ball_\delta(x_0)\cap[a, b)\\&\hookrightarrow |f_n(x)-f_n(x)|<\frac{\ve}{3} \end{align*}$
В частности верно для $x_0=a$
$\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in\overset{\circ}\ball_\delta(a)\cap(a, b)\hookrightarrow |f_n(x)-f_n(a)|<\frac{\ve}{3}$
Рассмотрим теперь:
$\begin{align*} |f_n(a)-f_m(a)|&\leq\underset{\text{по п. 3}}{\overset{(1)}{|f_n(a)-f_n(x)|}}+\underset{\text{по п. 2}}{\overset{(2)}{|f_n(x)-f_m(x)|}}+\underset{\text{по п. 3}}{\overset{(3)}{|f_m(x)-f_m(a)|}}\\ &<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve \end{align*}$
Получаем:
$\forall\ve>0,\exists N(\ve) \colon\forall n,m>N \hookrightarrow|f_n(a)-f_m(a)|<\ve$
т. е. $\ds\exists\lim_{n\to\infty}f_n(a)$ по Критерию Коши для числовых последовательностей, что противоречит условию $\implies$ предположение было неверным и $\ds\nexists \lim_{n\to\infty}f_n(a)$ .
$\boxed{f_n\not\overset{(a,b)}{\uniconverges}f}$

Теорема о почленном интегрировании функциональных последовательностей¶

Proof 10.2

По Критерию Дарбу: $f\in\mathcal{R}[a, b]\iff f$ — ограниченная на $[a, b]$ и $\Il=\Iu$ .

(Ограниченность)
1. $\forall n\in\NN\colon f_n\in\mathcal{R}[a, b]\implies f_n$ — ограниченная на $[a, b]$ , то есть
$\forall n\in\NN,\exists M_n\geq 0,\forall x\in[a, b]\hookrightarrow |f_n(x)|\leq M_n$
1. $f_n\overset{[a,b]}\uniconverges f$ , то
  $\forall\ve>0,\exists N(\ve)\colon\forall n > N,\forall x\in[a, b]\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\ve$
  Так как верно $\forall \ve$ , то рассмотрим случаи $\ve\to 1$ , в частности $\ve=1$ , тогда
  Тогда для $f(x)$ верно:
  $\forall x\in[a, b], |f(x)|\leq|f(x)-f_{N+1}(x)|+|f_{N+1}(x)|<1+M_{N+1}$
  т. е. $\forall x\in[a, b], f(x)$ — ограниченная.
(Интегрируемость)
$\Il=\lim_{\Delta_\TT\to0}\Sl(f,\TT),\quad\Iu=\lim_{\Delta_\TT\to0}\Su(f,\TT)$
$f\in\mathcal{R}[a, b]$ , если $\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall\TT\colon\delta_\TT<\delta\hookrightarrow|\Sl(f,\TT)-\Su(f,\TT)|<\ve$
Рассмотрим $\TT$ — разбиение $[a, b]$ :
$\begin{align*} |\Sl&(f,\TT)-\Su(f,\TT)|\\ &\leq\underbrace{|\Sl(f,\TT)-\Sl(f_n,\TT)|}_{(1)}+\underbrace{|\Sl(f_n,\TT)-\Su(f_n,\TT)|}_{(2)}+\underbrace{|\Su(f_n,\TT)-\Su(f,\TT)|}_{(3)} \end{align*}$
$\begin{align*} (1)\colon|\Sl(f,\TT)-\Sl(f_n,\TT)| &\leq\sum_i|\inf_{I_i}(f)-\inf_{I_i}(f_n)||I_i|\\ &\leq\sum_i\sup_{I_i}|f-f_n||I_i|\\ &\leq\sup_{[a,b]}|f-f_n|=|b-a|\leq\frac{\ve}{3} \end{align*}$
Но знаем, что $f_n\overset{[a,b]}\uniconverges f\implies$ по lim-sup критерию
$\forall\ve>0,\exists N,\forall n> N\hookrightarrow\sup_{[a,b]}|f-f_n|<\frac{\ve}{3|b-a|}$
Для $(3)$ аналогично:
$|\Su(f_n,\TT)-\Su(f,\TT)|\leq\sup_{[a,b]}|f-f_n|\cdot|b-a|\leq\frac{\ve}{3}$
$\begin{align*} (2)\colon f_n\in&\mathcal{R}[a,b]\implies\\ &\forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall\TT,\Delta_\TT<\delta,|\Sl(f_n,\TT)-\Su(f_n,\TT)|<\frac{\ve}{3} \end{align*}$
Собираем воедино:
$\begin{align*} \forall\ve>0,&\exists\delta>0(\exists N),\forall\TT\colon \Delta_\TT<\delta(\forall n>N)\hookrightarrow\\ &|\Sl(f,\TT)-\Su(f,\TT)|<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve\implies f(x)\in\mathcal{R}[a,b] \end{align*}$
Покажем теперь, что
$\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^bf_n(x)\d x=\int\limits_a^bf(x)\d x\implies \left|\int\limits_a^bf_n(x)\d x-\int\limits_a^bf(x)\d x\right|<\ve$
Рассмотрим:
$\begin{align*} \left|\int\limits_a^bf_n(x)\d x-\int\limits_a^bf(x)\d x\right|&=\left|\int\limits_a^b\left(f_n(x)-f(x)\right)\d x\right|\\ &\leq\int\limits_a^b|f_n(x)-f(x)|\d x\\ &\leq\int\limits_a^b\sup_{[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\\ &\leq\sup_{[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\int\limits_a^b\d x\\ &=\sup_{[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\cdot|b-a|<\frac{\ve}{3}<\ve \end{align*}$
Вспомним, что значит равномерная сходимость:
$f_n(x)\overset{[a, b]}\uniconverges f(x)\implies\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N, |f_n(x)-f(x)|<\frac{\ve}{|b-a|}$
получаем, что
$\forall \ve>0,\exists N,\forall n>N\hookrightarrow\left|\int\limits_a^bf_n(x)\d x-\int\limits_a^bf(x)\d x\right|<\ve$

Теорема о почленном дифференцировании функциональных последовательностей¶

Воспоминания из первого курса

Если $f(x)$ определена в окрестности точки $a$ и дифференцируема в точке $a$ , то $f(x)$ непрерывна в точке $a$ .

Следовательно, $\boxed{f_n\in\fset[a,b]\implies f_n\in\contclass[a,b]}$ .

\forall n\in\NN, f_n\in\fset[a,b]\implies f_n\in \contclass[a,b] \implies \varphi(x)\in\fset[a,b],\quad \varphi(x)\in \contclass[a, b]

Proof 10.3

Эту теорему мы доказывали всю 11-ую лекцию, поэтому она не выделена в отдельный файл.

Существование $f\colon f_n\overset{[a,b]}\uniconverges f$
Введём $\varphi(x)=f_n(x)-f_m(x)$ для компактности доказательства, чтобы было легче потом доказывать по критерию Коши.
Тогда рассмотрим для $c$ из условия теоремы Лагранжа:
$\boxed{\varphi(x)-\varphi(c)=\varphi'(\xi)\cdot(x-c)}, \quad \xi\in[c, x] (\xi\in[x, c])$
Откуда получаем $\varphi(x)=\varphi'(\xi)(c-x)+\varphi(c)$
1. $\displaystyle\exists\lim_{n\to\infty}f_n(c)\implies$ выполняется критерий Коши для числовых последовательностей:
$\forall\ve>0,\exists N_1,\forall n,m>N_1\hookrightarrow|f_n(c)-f_m(c)|<\frac{\ve}{2}$
1. $f_n'(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges} g(x)\implies$ тоже выполняется критерий Коши для числовых последовательностей
$\forall\ve>0,\exists N_2,\forall n, m> N_2\forall \xi\in[a, b]\hookrightarrow|f_n'(\xi)-f'_m(\xi)|<\frac{\ve}{2|b-a|}$
Оценим
$\begin{align*} |\varphi(x)|&\leq|\varphi'(\xi)|\cdot|c-x|+|\varphi(c)|\\ &=|f_n'(\xi)-f_m'(\xi)|\cdot|c-x|+|f_n(c)-f_m(c)|\\ &<\frac{\ve}{2|b-a|}\cdot|c-x|+\frac{\ve}{2}<\ve \end{align*}$
Таким образом,
$\begin{align*} \forall\ve >0,\exists N&=\max\{N_1,N_2\}\colon\\ &\forall n,m>N,\forall x\in[a, b]\hookrightarrow |\varphi(x)|=|f_n(x)-f_m(x)|<\ve\\ &\implies\exists f\colon f_n\overset{[a,b]}\uniconverges f \end{align*}$
Докажем, что $f'(x)=g(x)$ .
Пусть есть фиксированный $x_0\in[a,b]$ , но он произвольный.
1. Рассмотрим $\boxed{\displaystyle\psi_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}}$
  Покажем по Критерию Коши, что $\psi_n(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges} |\psi_n(x)-\psi_m(x)|$
  $\begin{align*} |\psi_n(x)-\psi_m(x)|&=\left|\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}-\frac{f_m(x)-f_m(x_0)}{x-x_0}\right|\\ &=\left|\frac{f_n(x)-f_m(x)}{x-x_0}-\frac{f_n(x_0)-f_m(x_0)}{x-x_0}\right|\\ &=\left|\frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{x-x_0}\right|\xRightarrow{\text{по Лагранжу}}\\ &\implies \frac{|\varphi'(\xi)||x-x_0|}{|x-x_0|}=|\varphi'(\xi)|=|f_n'(\xi)-f'_m(\xi)|<\ve \end{align*}$
  по Лагранжу $\exists\xi\in[x_0, x]$ и так как $f_n'(x)\overset{[a,b]}\uniconverges$ , то
  $\forall\ve>0,\exists N,\forall n,m>N,\forall x\in[a,b]\hookrightarrow|f_n'(x)-f'_m(x)|<\ve$
  Таким образом, $\psi_n(x)\overset{[a,b]}\uniconverges$ к какой-то функции.
2. $\forall n\in\NN,f_n\in\fset[a,b],\exists\lim_{x\to x_0}\psi_n(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}=f_n'(x_0)$
  Следовательно получаем, что все условия последующей теоремы выполняются:
  $\psi_n(x)\overset{[a, b]}\uniconverges,\quad \forall n\in\mathbb{N},\exists\lim_{x\to x_0}\psi_n(x)=f'_n(x_0)\implies$
  по теореме о почленном переходе к пределу:
  $\begin{align*}g(x_0)&=\lim_{n\to\infty}f'_n(x_0)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}\psi_n(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\right)\\&=\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\right)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\end{align*}$

Конспекты

Лекция 9. Функциональные последовательности-2

Конспекты

Лекция 12. Функциональные ряды-1