II курс, Коллоквиум I

Основные определения¶

1. Определение (замкнутого) бруса (координатного промежутка, параллепипеда)

2. Определение меры (объема) бруса

3. Определение разбиения бруса

4. Определение диаметра множества в $\RR^n$

5. Определение ограниченного множества в $\RR^n$

6. Определение масштаба (диаметра) разбиения

7. Определения отмеченных точек и размеченного разбиения

8. Определение интегральной суммы Римана

9. Определение интегрируемой по Риману функции на замкнутом брусе в $\RR^n$

10. Определение множества меры нуль по Лебегу

11. Определение внутренней точки множества

12. Определение внешней точки множества

13. Определение граничной точки множества

14. Определение изолированной точки множества

15. Определение предельной точки множества

16. Определение точки прикосновения множества

17. Определение открытого множества

18. Определение замкнутого множества

19. Определение компакта

20. Определение ограниченного множества

21. Определение расстояния между компактами (?)

22. Определение колебания функции на множестве

23. Определение колебания функции в точке

24. Определение непрерывности функции в точке

25. Определение выполненения свойства почти всюду

26. Определение пересечения двух разбиений

27. Определение измельчения разбиения

28. Определение верхней и нижней суммы Дарбу

29. Определение верхнего и нижнего интеграла Дарбу

30. Определение допустимого множества

31. Определение интеграла Римана по допустимому множеству

32. Определение сходимости функциональной последовательности в точке

33. Определение множества сходимости функциональной последовательности

34. Определение предельной функции функциональной последовательности

35. Определение поточечной сходимости функциональной последовательности на множестве

36. Определение равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве

Основные формулировки¶

1. Свойства меры бруса в $\RR^n$ (однородность, аддитивность, монотонность)

2. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману

3. Свойства интеграла Римана (линейность, монотонность, оценка интеграла)

4. Свойства множества меры нуль по Лебегу (1), (2), (3)

5. Критерий замкнутости множества в $\RR^n$

6. Теорема о компактности замкнутого бруса в $\RR^n$

7. Критерий компактности в $\RR^n$

8. Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте

9. Теорема о связи непрерывности функции в точке с колебанием

10. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте

11. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману

12. Свойства интегральных сумм Дарбу

13. Теорема об интегралах Дарбу как пределах интегральных сумм Дарбу

14. Критерий Дарбу интегрируемости функции на замкнутом брусе

15. Утверждение о независимости определения допустимого множества от выбора бруса

16. Теорема Фубини о переходе к повторному интегралу

17. Cупремальный критерий равномерной сходимости функциональной последовательности

18. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

19. Теорема о почленном переходе к пределу для функциональной последовательности

20. Теорема о непрерывности предельной функции

21. Утверждение о неравномерной сходимости фун. послед. наличии разрыва

22. Утверждение о неравномерной сходимости фун. послед. при наличии расходимости в точке

23. Теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности

24. Теорема о почленном дифференцировании функциональной последовательности

25. Теорема о замене переменных в критерии интегрирования

Теоремы на доказательство¶

1. Свойства меры бруса в $\RR^n$ (однородность, аддитивность, монотонность)

2. Необходимое условие интегрируемости

3. Свойства интеграла Римана (линейность, монотонность, оценка интеграла)

4. Свойства множества меры нуль по Лебегу (1), (2), (3)

5. Критерий замкнутости множества в $\RR^n$

6. Теорема о компактности замкнутого бруса в $\RR^n$

7. Критерий компактности в $\RR^n$

8. Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте

9. Теорема о связи непрерывности функции в точке с колебанием

10. Свойства интегральных сумм Дарбу

11. Теорема об интегралах Дарбу как пределах интегральных сумм Дарбу

12. Критерий Дарбу интегрируемости функции на замкнутом брусе

13. Утверждение о независимости определения допустимого множества от выбора бруса

14. Теорема Фубини о переходе к повторному интегралу

15. Cупремальный критерий равномерной сходимости функциональной последовательности

16. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

17. Теорема о почленном переходе к пределу для функциональной последовательности

18. Теорема о непрерывности предельной функции

19. Утверждение о неравномерной сходимости фун. послед. наличии разрыва

20. Утверждение о неравномерной сходимости фун. послед. при наличии расходимости в точке

21. Теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности

22. Теорема о почленном дифференцировании функциональной последовательности

23. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (необязательный / бонусный)