Лекция 15. Ряды Фурье

$V$ — линейное пространство с нормой $||x||=\sqrt{\langle x, x\rangle}, \forall x\in V$

Proof

$\langle e_i, e_j\rangle = 0$ при $i\neq j$ :

$\boxed{y=x-\tilde x}$

$\begin{align*}\langle x, \tilde x \rangle &= \langle x - \tilde x, \tilde x \rangle=\langle x, \tilde x \rangle - \langle \tilde x , \tilde x \rangle =\\ &=\langle x, \sum_k\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k \rangle-\langle \sum_k\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k, \sum_k\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k \rangle\\ &=\sum_k\frac{\overline{\langle x, e_k \rangle}}{\langle e_k, e_k\rangle}\cdot\langle x, e_k\rangle-\sum_k\frac{|\langle x, e_k \rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}\cdot \langle e_k, e_k\rangle=0 \end{align*}$
$\langle y, \sum_k \alpha_ke_k\rangle=\sum_k\langle y, \alpha_k, e_k\rangle=\sum_k\bar \alpha_k\langle y, e_k\rangle=0$
Рассмотрим
$\begin{align*} \langle y, e_k\rangle&=\langle x - \tilde x, e_k\rangle=\langle x, e_k\rangle - \langle \tilde x, e_k \rangle \\ &= \langle x, e_k\rangle-\langle \sum_k\frac{\langle x, e_i \rangle}{\langle e_i, e_i\rangle}e_i, e_k\rangle=\langle x, e_k\rangle - \langle x, e_k\rangle=0 \end{align*}$

Theorem 15.3 (Неравенство Бесселя)

$\{e_k\}$ — не более, чем счётная, ортогональная ненулевая система векторов из $V\subset ||\cdot||=\sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}$ и $\forall x\in V, \exists \tilde x =\sum_k\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k$ — ряд Фурье, сходящийся к $\tilde x$ по норме $\implies \sum_k\frac{|\langle x, e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}\leq ||x||^2$ в ортонормированной системе векторов $\sum_k|\langle x, e_k\rangle|^2\leq ||x||^2$ .

Proof

$x=\tilde x + y \implies$ по теореме Пифагора

||x||^2=||\tilde x||^2+||y||^2\implies ||x||^2\geq ||\tilde x||^2

\begin{align*} ||\tilde x||^2&=\left|\left|\sum_k\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right|\right|^2=\sum_k\left|\left|\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right|\right|^2\\ &=\sum_k\left|\frac{\langle x, e_k \rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}\right|^2\langle e_k, e_k\rangle=\sum_k\frac{|\langle x, e_k \rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle} \end{align*}

Theorem 15.4 (Экстремальное свойство коэффициентов Фурье)

$\{e_k\}$ — ортогональная система ненулевых векторов в линейном пространстве $V$ с $||\cdot||=\sqrt{\langle \cdot, \cdot\rangle}$ . Если $\forall x \in V,\forall n, \exists \tilde x_k=\sum^n_{k=1}\frac{\langle x, e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k$ , то произвольный вектор линейного пространстве лучше всего приближается $n$ -ой частичной суммой ряда Фурье:

\min_{\alpha_k}\left|\left|x-\sum^n_{k=1}\alpha_k e_k\right|\right| = ||x - \tilde x_n||

Proof

\begin{align*} 0&\leq \left|\left|x-\sum^n_{k=1}\alpha_k e_k\right|\right|^2=\langle x-\sum^n_{k=1}\alpha_k e_k, x - \sum^n_{m=1}\alpha_m e_m \rangle\\ &=\langle x, x\rangle-\sum_m\langle x, \alpha_m e_m\rangle-\sum_k\langle \alpha_ke_k, x\rangle +\sum_{k,m}\langle \alpha_k e_k, \alpha_m e_m\rangle\\ &=\langle x, x\rangle-\sum_k\bar\alpha_k\langle x, e_k\rangle -\sum_k\alpha_k\langle e_k, x\rangle +\sum_{k}|\alpha_k|^2\cdot||e_k||^2\\ &=||x||^2-\sum_k\bar\alpha_kx_k\cdot||e_k||^2-\sum_k\alpha_k\bar x_k\cdot ||e_k||^2 +\sum_{k}|\alpha_k|^2\cdot||e_k||^2\\ &=||x||^2+\sum_k(-\bar\alpha_k x_k-\alpha_k\bar x_k+|\alpha_k|^2\plusmn|x_k|^2)\cdot ||e_k||^2\\ &\boxed{|a-b|^2=(a+b)(\bar a - \bar b)=|a|^2-b\bar a - a \bar b+|b|^2}\\ &=||x||^2+\sum_k(|\alpha_k-x_k|^2-|x_k|^2)\cdot ||e_k||^2\\ &=||x||^2+\sum_k|\alpha_k-x_k|^2\cdot ||e_k||^2-\sum_k|x_k|^2\cdot||e_k||^2\to\min\\ &\iff \alpha_k-x_k=0\iff \alpha_k=x_k \end{align*}

Proof 15.1

Рассмотрим $\sum_kx_ke_k=\sum_k\frac{\langle x, e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k$ . По неравенству Бесселя $\sum_k\frac{|\langle x, e_k|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}\leq ||x||^2$ .
Сумма данного ряда является монотонной неубывающей числовой последовательностью, ограниченной сверху, $\implies$ этот ряд сходится по теореме Вейерштрасса.
Покажем, что $S_n=\sum^n_{k=1}x_ke_k$ — фундаментальная последовательность:
$\begin{align*} ||S_n-s_m||^2&=||x_{m+1}e_{m+1}+\ldots+x_ne_n||^2\\ &=||x_{m+1}e_{m+1}||^2+\ldots+||x_ne_n||^2=b_{m+1}+\ldots+b_n\leq \ve^2 \end{align*}$
так как $\sum b_k$ сходится
$\forall \ve > 0, \exists N\colon \forall n > m> N\hookrightarrow\\ b_{m+1}+\ldots + b_n<\ve^2\implies||s_n-s_m||^2<\ve^2\implies||s_n-s_m||<\ve\implies s_n$
фундаментальная в банаховом пространстве $V$
$\displaystyle\implies\exists\lim_{n\to\infty}||s_n-s||=0$ то есть $\displaystyle\exists S=\sum^\infty_{k=1}x_ke_k$

Конспекты

Лекция 14. Ряды Фурье

Информация

Глоссарий