Лекция 12. Функциональные ряды-2. Степенные ряды-1

Функциональные ряды—2. Степенные ряды—1¶

Признак Абеля¶

Пусть {math}\left.\begin{aligned} &a_n,b_n:D\to\mathbb{R}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\\ &\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\text{ — монотонна на }D\\ &\exists c>0:\ \forall n>\mathbb{N},\forall x\in D\ |b_n(x)|\leqslant c \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}

Обозначим $\alpha_k^m(x)=A_k(x)-A_m(x)=\sum_{n=m+1}^{k}a_n(x)\Longrightarrow \alpha_m^m=0$

Получаем, что $a_n(x)=\alpha_n^m(x)-\alpha_{n-1}^{m}(x)$

Рассмотрим $\left|\sum_{n=m+1}^{k} a_n(x)b_n(x)\right|$:

• $\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ — монотонна на $D\Longrightarrow b_n(x)-b_{n+1}(x)$ одного знака $\forall n$

• $|b_n(x)|\leqslant c\ \forall x\in D\ \forall n\in\mathbb{N}$

• $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\quad \forall\ve>0\ \exists N:\ \forall k>m>N:\ |\alpha_k^m(x)|<\frac{\ve}{3}$

Значит, $\forall\ve>0\ \exists N:\ \forall k>m>N\ \forall x\in D\hookrightarrow\left|\sum_{n=m+1}^{k}a_m(x)b_n(x)\right|<\ve$, следовательно ряд сходится равномерно на $D$ по критерию Коши

Теорема о почленном переходе к пределу¶

Пусть имеется {math}\left.\begin{aligned} &a_n(x):D\to\mathbb{R}\\ &x_0\text{ — предельная точка } D\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\\ &\forall n\in\mathbb{N}\ \exists\lim\limits_{x\to x_0}a_n(x)=b_n \end{aligned}\right\}\Longrightarrow\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x) - \text{сходится}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x) \end{aligned}

Для теоремы о переходе к пределу в последовательностях у нас было три условия

Так как $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}$, то $S_k(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ и $S_k(x)\overset{D}{\rightrightarrows}$

Покажем, что $\forall k\in\mathbb{N}\ \exists \lim\limits_{x\to x_0}S_k(x):$

Значит, выполняется третье условие для последовательностей

Таким образом, по теореме о почленном переходе к пределу в функциональных последовательностях:

Теорема о непрерывности равномерно сходящегося ряда¶

{math}\left.\begin{aligned} &a_n(x):D\to\mathbb{R}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}\\ &a_n(x)\in C(D) \end{aligned}\right\}\Longrightarrow S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}

• $S_k(x)\overset{D}{\rightrightarrows}$, где $S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}a_n(x)$

• $S_k(x)\in C(D)$ как конечная сумма непрерывных функций на $D$

Тогда, $S(x)\in C(D)$ по теореме о непрерывности предельной функции

Теорема о почленном интегрировании¶

{math}\left.\begin{aligned} &a_n(x):D\to\mathbb{R}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{[a;b]}{\rightrightarrows}\\ &\forall n\in\mathbb{N} a_n(x)\in\riman{[a;b]} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned} &S(x)\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\in\riman{[a;b]}\\ &\int\limits_{a}^bS(x)\d{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{a}^ba_n(x)\d{x} \end{aligned}

$S_k(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$, \forall a_n(x)\in\riman{[a;b]}\Longrightarrow S_k(x)\in\riman{[a;b]} как сумма конечного числа интегральных функций

Тогда, выполняется теорема о почленном интегрировании функциональных последовательностей:

Undefined control sequence: \riman at position 111: …     &S_k(x)\in\̲r̲i̲m̲a̲n̲{[a;b]}
    \en…

\exists S(x):\boxed{\begin{aligned}
        &S_k(x)\overset{[a;b]}{\rightrightarrows}S(x)\\
        &S_k(x)\in\riman{[a;b]}
    \end{aligned}}\Longrightarrow\begin{aligned}
        \int\limits_{a}^bS(x)\d{x}&=\int\limits_a^b\lim\limits_{k\to\infty}S_k(x)\d{x}\\
        &=\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^ka_n(x)\\
        &=\lim\limits_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\int\limits_{a}^ba_n(x)\d{x}\\
        &=\sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{a}^ba_n(x)\d{x}
    \end{aligned}

Теорема о почленном дифференцировании¶

{math}\left.\begin{aligned} &a_n(x):[a;b]\to\mathbb{R}\\ &a_n(x)\in D[a;b]\\ &\exists c\in[a;b]:\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\text{ — сходится}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a^{\prime}_n(x)\overset{[a;b]}{\rightrightarrows}\\ \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned} &\exists S(x):\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{[a;b]}{\rightrightarrows}S(x)\\ &S^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a^{\prime}_n(x) \end{aligned}

$S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}a_n(x)$, тогда $\exists \lim\limits_{k\to\infty}S_k(c)$; $S_k(x)\in D[a;b]$; $S^{\prime}_k\overset{[a;b]}{\rightrightarrows}$

Значит, условие теоремы о почленном дифференцировании функциональных последовательностей выполнено

Степенные ряды¶

Функциональный ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ будем называть степенным рядом

• $x_0$ — центр степенного ряда

• $a_n$ — коэффициенты степенного ряда

При $x=x_0$ степенной ряд сходится

Радикальный признак Коши¶

Пусть $a_n\geqslant 0, \varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=q$, тогда степенной ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится при $q<1$, и расходится при $q>1$

Теорема Коши-Адамара¶

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,R=[0;+\infty)$. Пусть $\frac{1}{R}=\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$

Тогда, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ сходится $\forall x:\ |x-x_0|<R$ и расходится $\forall x:\ |x-x_0|>R$

Зафиксируем $x\in\mathbb{R}$

Рассмотрим

Получаем, что для любого фиксированного $x\in(x_0-R;x_0+R):\frac{|x-x_0|}{R}<1\Longrightarrow$ числовой ряд

сходится по радикальному признаку Коши, а значит $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ — сходится абсолютно

Далее, для любого фиксированного $(-\infty;x_0-R)\cup(x_0+R;+\infty):\frac{|x-x_0|}{R}>1\Longrightarrow \varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|}>1$ и не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, так как

Значит, оба ряда $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n(x-x_0)^n|$ и $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ — расходятся

$R$ будем называть радиусом сходимости степенного ряда

$(x_0-R;x_0+R)$ — интервал сходимости степенного ряда