Лекция 13. Функциональные ряды-2. Степенные ряды-1

Теорема о почленном переходе к пределу¶

Theorem 13.1 (Теорема о почленном переходе к пределу для функциональных рядов)

\left.\begin{aligned} &a_n(x)\colon \fset\to\RR\\ &x_0\text{ --- предельная точка } \fset\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}\\ &\forall n\in\NN, \exists\lim\limits_{x\to x_0}a_n(x)=b_n \end{aligned}\right\}\Longrightarrow\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x) \text{ сходится}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x) \end{aligned}

Proof

В теореме о почленном переходе к пределу в последовательностях у нас было три условия:

\left.\begin{aligned} &x_0\text{ --- предельная точка }\fset\\ &f_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}f(x)\\ &\forall n\in\NN,\exists \lim\limits_{x\to x_0}f_n(x)=c_n \end{aligned}\right\}\implies \lim_{n\to\infty}\underbrace{\left(\lim_{x\to x_0} f_n(x)\right)}_{c_n}=\lim_{x\to x_0}\underbrace{\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)}_{f(x)}

Так как $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{\fset}{\uniconverges}$ , то $\displaystyle S_k(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ и $S_k(x)\overset{\fset}{\uniconverges}$

Покажем, что $\forall k\in\NN, \exists \lim\limits_{x\to x_0}S_k(x)$ :

\begin{aligned} \lim\limits_{x\to x_0}S_k(x)&=\lim\limits_{x\to x_0}\left(\sum_{n=1}^{k}a_n(x)\right)=\sum_{n=1}^k\left(\lim\limits_{x\to x_0}a_n(x)\right)=\sum_{n=1}^kb_n=B_k \end{aligned}

Имеем, что оба условия теоремы о почленном переходе к пределу для функциональных последовательностей выполняются для $S_k$ . Также выполняется и третье условие:

\lim_{k\to\infty} B_k=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\lim\limits_{x\to x_0}S_k(x)\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(\lim\limits_{k\to\infty}S_k(x)\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\right)

Теорема о непрерывности равномерно сходящегося функционального ряда¶

Теорема о почленном интегрировании функционального ряда¶

Theorem 13.3 (Теорема о почленном интегрировании функционального ряда)

\left.\begin{aligned} &a_n(x)\colon\fset\to\RR\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges}\\ &\forall n\in\NN\colon a_n(x)\in\riemann{[a,b]} \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned} &S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\in\riemann{[a,b]}\\ &\int\limits_{a}^bS(x)\d{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{a}^ba_n(x)\d{x} \end{aligned}

Proof

$\displaystyle S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}a_n(x) \in\riemann$ как конечная линейная комбинация функций, интегрируемых на отрезках.

\sum^\infty_{n=1} a_n(x)\overset{[a, b)}{\uniconverges}\implies S_n(x)\overset{[a, b]}{\uniconverges} S(x)\implies \exists S(x)=\sum^\infty_{n=1} a_n(x)\in\riemann[a,b]

Тогда выполняется теорема о почленном интегрировании функциональных последовательностей:

\begin{aligned} \int\limits_{a}^bS(x)\d{x}&=\int\limits_a^b\lim\limits_{k\to\infty}S_k(x)\d{x}=\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_a^bS_k(x)\d{x}\\ &=\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^ka_n(x)\d{x} =\lim\limits_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\int\limits_{a}^ba_n(x)\d{x} =\sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{a}^ba_n(x)\d{x} \end{aligned}

Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда¶

Theorem 13.4 (Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда)

$\left.\begin{aligned} &a_n(x)\colon [a,b]\mapsto\RR\\ &a_n(x)\in \fset[a,b]\\ &\exists c\in[a,b]\colon \sum_{n=1}^{\infty}a_n(c)\text{ --- сходится}\\ &\sum_{n=1}^{\infty}a^{\prime}_n(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges}\\ \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \begin{aligned} &\exists S(x)\colon\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges}S(x)\\ &S^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a^{\prime}_n(x) \end{aligned}$

Proof

$\displaystyle S_k(x)=\sum_{n=1}^{k}a_n(x)\in\fset[a, b]$ как конечная линейная комбинация на $[a, b)$ функция. $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}a_n(c)$ сходится $\implies \exists \lim\limits_{k\to\infty}S_k(c)$ .

$\displaystyle\tilde S_k(x)=\sum^k_{n=1}a'_n(x)=S'_k(x)$ , так как $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}a_n'(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges}$ , то $S_n'(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges}$

\exists S(x)\colon S_n(x)\overset{[a,b]}{\uniconverges}S(x)=\sum^\infty_{n=1}a_n(x),\qquad S'(x)=\tilde S(x)=\sum^\infty_{n=1} a_n'(x)

Значит, условие теоремы о почленном дифференцировании функциональных последовательностей выполнено.

Степенные ряды¶

Радикальный признак Коши сходимости числовых рядов¶

Теорема Коши-Адамара¶

Proof

Зафиксируем $x\neq x_0\in\RR$ . Применим радикальный признак Коши для числового ряда.

\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|}=\left(\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\right)\cdot|x-x_0|=\frac{|x-x_0|}{R}

Для ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n(x-x_0)^n|, \forall x\in(x_0-R;x_0+R)\colon$

$\dfrac{|x-x_0|}{R}<1\implies$ ряд сходится, то есть сходится $\forall x\colon |x-x_0|<R$ ;
$\dfrac{|x-x_0|}{R}>1\implies$ ряд расходится, то есть расходится $\forall x\colon |x-x_0|>R$ .

сходится по радикальному признаку Коши, а значит $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ сходится абсолютно

Далее, для любого фиксированного

(-\infty;x_0-R)\cup(x_0+R;+\infty):\frac{|x-x_0|}{R}>1\Longrightarrow \varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|}>1

и не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, так как

\exists N,\forall n>N\colon\sqrt[n]{|a_n(x-x_0)^n|}>1\Longrightarrow |a_n(x-x_0)|>1\not\to 0

Значит, оба ряда $\ds\sum_{n=0}^{\infty}|a_n(x-x_0)^n|$ и $\ds\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ расходятся.

$R$ — радиус сходимости степенного ряда;
$(x_0-R;x_0+R)$ — интервал сходимости степенного ряда.

Конспекты

Лекция 12. Функциональные ряды-1

Конспекты

Лекция 14. Степенные ряды-2