Лекция 3. Топология в ℝⁿ

Топология в $\R$ ^n¶

Proof 3.1

Необходимость (от противного) (замкнутое $\implies$ содержит)
- По условию $M$ замкнуто $\implies$ $\R^n\setminus M$ открыто $\implies$ все его точки внутренние $\implies$ для
  $x_0\in \RR^n\setminus M, \exists \ve>0, \ball_\ve(x_0)\subset \RR^n \setminus M$
- Пусть $x_0$ — предельная для $M$ , но $x_0\not\in M\implies$
  $\forall \ve, \overset{\circ} \ball_\ve(x_0)\cap M\neq\varnothing$
- Однако $\ball_ve(x_0)\cap M\neq\varnothing \implies \overset{\circ}\ball_\ve(x_0)\cap M=\varnothing$ , из чего получаем противоречие $\implies M$ содержит все предельные точки.
Достаточность (содержит $\implies$ замкнутая)
- Пусть $y_0 \in \RR^n\setminus M \implies y_0$ не является предельной $\implies \exists r > 0$ :
  $\begin{cases} \overset{\circ}\ball_r(y_0)\cup M = \varnothing\\ y_0\in\RR^n\setminus M \end{cases}\implies \exists r, \ball_r(y_0)\subset \RR^n \setminus M$
- $\ball_r(y_0)\subset \RR^n \setminus M \implies y_0$ — внутренняя для $\RR^n\setminus M$ .
- Раз $y_0$ — произвольное, то $(\RR^n \setminus M)$ — открытое $\implies M$ — замкнутое.