Лекция 8. Функциональные последовательности-1

Example 8.5

$f_n(x)=2(n+1)x(\underbrace{1-x^2}_{\leq 1})^n$ на $[0,1]$

$f_n(0)=0$ , $f_n(1)=0$

$f_n(x)=2\cdot\text{const}\cdot\boxed{(n+1)\cdot q^n}\to 0$ при $n\to\infty$ , т. е. $f_n(x)\xrightarrow{[0,1]}0$

Рассмотрим

\int\limits^1_0f(x)\d x=0,\quad\int\limits^1_0f_n(x)\d x=-\frac{2(n+1)}{2}\int\limits^1_0(1-x^2)^n\d (x^2+1)=-(1-x^2)^{n+1}\biggm|^1_0=1

Proof

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

$f_n\overset{D}{\rightrightarrows}f$ , т. е. $\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in D, |f_n(x)-f(x)|<\frac{\ve}{2}$

так как выполняется $\forall x\in D$ , то верно, что в худшем случае

\sup_D|f_n(x)-f(x)|\leq\frac{\ve}{2}<\ve

т. е. $\forall\ve>0,\exists N, \forall n>N,\sup_D|f_n(x)-f(x)|<\ve$

$(\Leftarrow)$ Достаточность.

$\lim_{n\to\infty}\sup_D|f_n(x)-f(x)|=0\implies$ по определению $\lim\colon\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N\hookrightarrow\sup_D|f_n(x)-f(x)|<\ve$ , но знаем, что $|f_n(x)-f(x)|\leq\sup_D|f_n(x)-f(x)|\implies$ выполнено $\forall \ve>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in D\hookrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\ve\implies f_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)$ .

Конспекты

Лекция 7. Интеграл Римана на допустимых множествах.

Конспекты

Лекция 9. Функциональные последовательности-2