Лекция 8. Функциональные последовательности-1

Сходимость¶

Example 8.5

$f_n(x)=2(n+1)x(\underbrace{1-x^2}_{\leq 1})^n$ на $[0,1]$

$f_n(0)=0$ , $f_n(1)=0$

$f_n(x)=2\cdot\text{const}\cdot\boxed{(n+1)\cdot q^n}\to 0$ при $n\to\infty$ , т. е. $f_n(x)\xrightarrow{[0,1]}0$

Рассмотрим

\int\limits^1_0f(x)\d x=0,\quad\int\limits^1_0f_n(x)\d x=-\frac{2(n+1)}{2}\int\limits^1_0(1-x^2)^n\d (x^2+1)=-(1-x^2)^{n+1}\biggm|^1_0=1