Лекция 1. Кратные интегралы Римана

Брусы¶

Свойства меры бруса в $\mathbb{R}^n$ ¶

1. Однородность

\mu(I_{\lambda a,\lambda b})=\lambda^n\mu(I_{a,b}),\lambda\geq0

a=\{a_1,\dots,a_n\}, b=\{b_1,\dots,b_n\}

2. Аддитивность

Пусть $\displaystyle I, I_1,\dots,I_k\colon I=\bigcup^k_{i=1}I_i$ . $I_1,\dots,I_k$ не имеют общих внутренних точек $\displaystyle\implies |I|=\sum^k_{i=1}|I_i|$

3. Монотонность

$\displaystyle I\subset\bigcup^k_{i=1}I_i$ покрыт конечной системой брусов $\displaystyle\implies |I|\leq\sum^k_{i=1}|I_i|$

Разбиения¶

Figure 1.1:Любое произвольное разбиение можно свести к сеточному

Figure 1.2:У всех примеров диаметр одинаковый, т. к. это всё точки на круге.

Интегральные суммы¶

$I$ — невырожденный замкнутый брус. $f\colon \underset{\in\RR^n}{I}\mapsto\mathbb{R}$ , определённая на $I$ .

Definition 1.10 (Интегрируемая функция)

Будем говорить, что функция $f\colon I\mapsto\RR$ интегрируема (по Риману) на замкнутом брусе $I$ , если $\exists A\in\mathbb{R},\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall(\mathbb{T},\bxi)\colon \triangle_{\mathbb{T}}<\delta$ верно, что $|\sigma(f,\mathbb{T},\xi)-A|<\varepsilon$ . Тогда

A=\int\limits_I f(\vec x)\d \vec x=\underset{I\ }{\dotsint} f(x_1,\ldots,x_n)\d x_1\dots \d x_n

Обозначение: $f\in \intclass(I)$ .

Примеры¶

Example 1.2 (Неинтегрируемая функция по Риману, функция Дирихле)

I=[0,1]^n

f=\begin{cases} 1, & \forall i=1,\dots,n, & x_i\in\mathbb{Q}\\ 0, & \text{иначе} \end{cases}

$\forall\mathbb{T}$ можно выбрать такое $\xi_i\in\mathbb{Q}$ , тогда для такого размеченного разбиения $(\mathbb{T},\bxi)$ можно выбрать такие точки, которые полностью рациональные

\sigma(f,\mathbb{T},\bxi)=\sum^k_{i=1}1\cdot|I_i|=|I|=1

это такой набор точек, чтобы $f(\hat\bxi_i)=1$

$\forall\mathbb{T}$ можно выбрать такое $\hat\xi_i\not\in\mathbb{Q}$ , что можно выбрать полностью иррациональные точки

\sigma(f,\mathbb{T},\hat{\bxi})=\sum^k_{i=1}0\cdot|I_i|=0\implies f\not\in \intclass(I)

это такой набор точек, чтобы $f(\hat\bxi_i)=0$

Example 1.3 (Простая (сложная) задачка с КР)

Вычислите интеграл, рассматривая его как представление интегральной суммы при сеточном разбиении квадрата $I=[0,1]\times[0,1]$ на ячейки — квадраты со сторонами, длины которых равны $|I_i|=\frac{1}{n}$ , выбирая в качестве точек $\xi_i$ верхние правые вершины ячеек.

\iint\limits_{\overset{\scriptstyle 0\leq x\leq 1}{0\leq y\leq 1}}xy\d x\d y

Наша функция $f=xy, |I_i|=\frac{1}{n^2}, \xi_{ij}=\underset{\overset{\scriptstyle 0\leq x\leq 1}{0\leq y\leq 1}}{(\frac{i}{n},\frac{j}{n})}$

\begin{align*} \sigma(f,\mathbb{T},\bxi) &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{i}{n}\frac{j}{n}\frac{1}{n^2}\\ &=\frac{1}{n^4}\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^n j\\ &=\frac{(n+1)n}{2n^4}\sum^n_{i=1}i\\ &=\frac{(n+1)^2n^2}{4n^4}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{4} \end{align*}

Проверка:

\int\limits_0^1xdx\int\limits^{1}_0ydy=\frac{1}{2}\int\limits^1_0xdx=\frac{1}{4}

Конспекты

II курс, Коллоквиум I