Лекция 13. Степенные ряды-2

Степенные ряды—2¶

Теорема о равномерной сходимости степенного ряда¶

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$, $R$ — радиус сходимости степенного ряда, тогда

Используем признак Вейерштрасса: $|a_n(x-x_0)^n|=|a_n|\cdot|x-x_0|^n\leqslant |a_n|\cdot r^n$

По радикальному признаку Коши ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|r^n$ — сходится, а $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|r^n}=\frac{r}{R}<1$. Значит, по мажорантному признаку Вейерштрасса $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\overset{|x-x_0|\leqslant r}{\rightrightarrows}$

Теорема о непрерывности суммы степенного ряда¶

$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\ \in C(|x-x_0|<R)$

$\forall n\in\mathbb{N}\ a_n(x-x_0)^n\in C(|x-x_0|<R)$

Зафиксируем $\overset{\sim}{x}:|\overset{\sim}{x}-x_0|<R$. Пусть $r:|\overset{\sim}{x}-x_0|\leqslant r<R$, тогда $\forall x:|x-x_0|\leqslant r \quad S(x)\overset{|x-x_0|\leqslant r}{\rightrightarrows}$

То есть $S(x)\in C(x)$, так как $\overset{\sim}{x}$ — произвольная и $r$ — любой $<R\Longrightarrow S(x)\in C(|x-x_0|<R)$

Теорема о почленном интегрировании степенного ряда¶

Пусть $R$ — радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=S(x)$, тогда

\forall x\in(-R;R)\ a_nx^n\in\riman{[0;x]} и $S(x)\overset{[0;x]}{\rightrightarrows}$, тогда применима теорема о почленном интегрировании:

Найдем его радиус сходимости с помощью формулы Коши-Адамара

Любой степенной ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ можно путём сдвига $y=x-x_0$ свести к ряду $\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n$

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда¶

Пусть $R$ — радиус сходимости ряда $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, тогда

Для любого $x\in(-R;R)$:

1. $a_n(x)^n\in D[0;x]$

2. $\exists 0: S(0)=0$ — сходится

3. $$\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n-1]{n\cdot|a_n|\cdot|x^{n-1}|}=\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n-1]{n}\cdot|x|\cdot\sqrt[n-1]{|a_n|}=\frac{|x|}{R}<1\Longleftrightarrow |x|<R$$

   то есть $\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}\overset{[0;x]}{\rightrightarrows}$

Получаем, $S^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}\ \forall x\in(-R;R)$

$\forall n\in\mathbb{N}\ \exists S^{(\star)}(x)=\sum_{n=k+1}^{\infty}n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)x^{n-k}$ с радиусом сходимости $R$ и $\forall r:\ 0<r<R\ S^{(\star)}_N(x)\overset{[-r;r]}{\rightrightarrows}$

Разложение функции в степенной ряд¶

Если $f(x)$ раскладывается в степенной ряд на $(-R;R)$, $R>0$, то $f(x)\in D(-R;R)$

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\ x\in(-R;R)$, а далее по замечанию из предыдущей теоремы

Если $f(x)$ раскладывается в степенной ряд на $(-R;R)$, $R>0$, то это разложение единственно