Лекция 13. Степенные ряды-2

Степенные ряды–2¶

Proof

Используем признак Вейерштрасса.

|a_n(x-x_0)^n|=|a_n|\cdot|x-x_0|^n\leqslant |a_n|\cdot r^n

По радикальному признаку Коши:

$\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|r^n}=\dfrac{r}{R}<1$ .
Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|r^n$ сходится.
Значит, по мажорантному признаку Вейерштрасса
$\forall |x-x_0|\leqslant r,\quad \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\uniconverges$

Proof 13.1

\forall n\in\mathbb{N}, a_n(x-x_0)^n\in C(|x-x_0|<R)

Пусть $\tilde{x}$ — произвольная точка $D$ .

Обозначим $|\tilde{x}-x_0|=r\implies \sum^\infty_{n>0}a_n(x-x_0)^n\overset{|x-x_0|\leq r}{\uniconverges}$
$\forall n\in\NN, a_n(x-x_0)^n\in\contclass([x_0-r,x_0+r])$

Получаем, что по теореме о непрерывности суммы функционального ряда,

S(x)=\sum^\infty_{n=0}a_n(x-x_0)^n\in\contclass([x_0-r,x_0+r])

Следовательно, $S(x)$ — непрерывная в точке $\tilde x \in \{x_0-r, x_0+r\}$ и так как $\tilde{x}$ — произвольная, то $S(x)\in C(D)$

Proof 13.3

$\forall 0 < r < R$ , $S_n(x) \overset{|x-x_0|\leq r}\uniconverges S(x)\implies S_n(x)\overset{[0, t]}{\uniconverges}S(x)$
$\forall n \leq \NN\colon a_nx^n\in\riemann[x_0-r,x_0+r]\implies a_nx^n\in\riemann[0,t]$

Тогда применима теорема о почленном интегрировании функционального ряда:

\int\limits_0^tS(x)\d{x}=\int\limits_{0}^t\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\d{x}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int\limits_{0}^tx^n\d{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}t^{n+1}, \quad t \in D

Найдем его радиус сходимости с помощью формулы Коши-Адамара, но сначала

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}t^{n+1}=t\sum^\infty_{n=0}\frac{a_n}{n+1}t^n

так как $t$ перед суммой не влияет на сходимость.

\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{a_n}{n+1}t^{n}\right|}=\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{|a_n|}}{\sqrt[n]{n}}|t|=\frac{|t|}{R}<1

при $t\in D \implies R$ — радиус сходимости полученного степенного ряда.

Proof 13.4

Возьмём произвольную точку $\tilde x\in D$ . $r = |\tilde x| < R$ .

$a_nx^n\in D[-r;r], \forall n\in\NN$
$\exists 0 \in [-r, r], \displaystyle\sum^\infty_{n=0}a_n\cdot 0^n=0$ сходится
$\tilde S(x)=\sum^\infty_{n=1} n a_n x^{n-1}\overset{x\neq 0} = \frac{1}{x}\sum^\infty_{n=1} n a_n x^n$
$\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\cdot|a_n|\cdot|x^{n}|}=\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\cdot|x|\cdot\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{|x|}{R}<1\Longleftrightarrow |x|<R$
то есть получили, что $R$ — радиус сходимости. $\tilde S_n(x)\overset{|x|\leq r}{\uniconverges} \tilde S(x)\implies$ по теореме о дифференцировании функционального ряда,
$S'(x)=\tilde S(x)=\sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1},\quad \forall x\in[-r, r]$
$\displaystyle S'(x)=\sum^\infty_{n=1} n a_n x^{n-1}\uniconverges$ в точке $\tilde x$ , а в силу произвольности $\tilde x$ , $\uniconverges$ и на всём $D$ .

Example 13.1 (Функция, для которой её ряд Тейлора сходится к ней лишь в одной точке)

f(x)=\begin{cases} 0, &x=0\\ e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \neq 0 \end{cases}

f'(x)=(e^{-x^{-2}})'=e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot \frac{2}{x^3}

\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{x^3}}{e^{\frac{1}{x^2}}}=\lim_{y\infty}\frac{2y^3}{e^{y^2}}=0

f''(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\left(\frac{4}{x^6}-\frac{6}{x^3}\right)=e^{-\frac{1}{x^2}}p_{\text{ст}}\left(\frac{1}{x}\right)=0

\sum^\infty_{n=0}0\cdot x^n=0

Получили, что ряд Тейлора сходится в функции только в одной точке.