Лекция 5. Расстояния. Колебания функции

1. Необходимость

Если $f$ интегрируема, то она ограничена по необходимому условию интегрируемости. Осталось показать, что множества разрыва меры нуль. От противного: пусть это не так.

Обозначим множество всех точек разрыва ф-ии $f$ на $I$ за $T$ и заметим, что $T = \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{N}}T_k$, где\ $T_k = \{x\in I | \omega(f, x) \ge \frac{1}{k}\}$. Если $T$ не меры нуль, то существует $T_{k_0}$ не меры нуль (если они все меры нуль, то по свойству множеств меры нуль счетное объединение таких множеств тоже было бы меры нуль).

Для произвольного разбиения $\T = \{I_i\}_{i=1}^m$ бруска $I$ разобъем эти бруски на две кучи: первая $A = \{I_i | I_i\cap T_{k_0} \ne \varnothing, \omega(f, I_i) \ge \frac{1}{2k_0}\}$ и вторая $B = \T\setminus A$. Покажем, что $A$ является покрытием множества $T_{k_0}$, т.е. $T_{k_0} \subset \displaystyle\bigcup_{i: I_i\in A} I_i$ любая точка $x\in T_{k_0}$ является либо

• внутренней для некоторого бруска $I_i$. В этом случае $\omega(f, I_i) \ge \omega(f, x) \ge \frac{1}{k_0} > \frac{1}{2k_0}$, т.е. $I_i \in A$, либо

• точка $x$ лежит на границе некоторого количества брусков (не более чем $2^n$ штук). Тогда хотя бы на одном из них колебание $\omega(f, I_i) \ge \frac{1}{2k_0}$ (т.е. $I_i \in A$): если бы такого не нашлось, то в любой малой окрестности $B_{\ve}(x)$ выполняется следующее:

т.е. $x\not\in T_{k_0}$ — противоречие.

Таким образом, каждая точка $x\in T_{k_0}$ покрывается некоторым бруском $I_i \in A$, т.е. $A$ - покрытие $T_{k_0}$. Тогда существует $c: \displaystyle\sum_{i:I_i\in A}|I_i| \ge c > 0$ для всех разбиений $\T$ (если бы меняя разбиения мы могли получить сумму объемов этих брусков сколь угодно маленькую, то получилось бы, что $T_{k_0}$ меры нуль)

Возьмем два набора отмеченных точек $\xi^1$ и $\xi^2$. На брусках из кучки $B$ будем их брать одинаковыми, т.е. для $I_i\in B \,\, \xi_i^1 = \xi_i^2$. А на брусках из кучки $A$ будем брать такие, чтобы

Получаем:

т.е. интегральные суммы не могут стремиться к одному и тому же числу, значит $f$ не интегрируема ---- противоречие.

2. Достаточность

Для любого $\ve > 0$ рассмотрим $T_{\ve} = \{x\in I| \omega(f, x) \ge \ve\}$. Покажем, что это множество - компакт. Ограниченность очевидна (подмножества бруска), а замкнутость проверим от противного. Пусть $a$ - предельная точка $T_{\ve}: \,\, a\not\in T_{\ve}$. Т.к. она предельная, то существует $\{x^k\}: x^k \in B_{\frac{1}{k}}(a)$. Т.к. $B_{\frac{1}{k}}$ - открытые шары, то наши точки лежат в них с окрестностями, т.е. сущесвтуют $\delta_k : B_{\delta_k}(x_K) \subset B_{\frac{1}{k}}(a)$. Тогда

Переходя к пределу $k\to\infty : \omega(f, a) \ge \ve$, т.е. $a\in T_{\ve}$ - противоречие. Значит $T_{\ve}$ - замкнуто, и, следовательно, компактно.

Множество $T_{\ve}$ - множество меры нуль (как подмножество множества меры нуль). Значит, его можно покрыть не более чем счетным объединением открытых брусков $I_i: \displaystyle\sum_i|I_i| < \ve$. Т.к. это открытое покрытие, а $T_{\ve}$ - компакт, то существует конечное подпокрытие: $T_{\ve} \subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^m I_i$, при этом $\displaystyle\sum_{i=1}^m |I_i| < \ve$.

Обозначим три множества: $C_1 = \displaystyle\bigcup_{i=1}^mI_i, \quad C_2 = \displaystyle\bigcup_{i=1}^mI_i', C_3 = \displaystyle\bigcup_{i=1}^mI_i''$, где $I_i', I_i''$ - бруски, полученные гомотетией с центром в центре $I_i$ с коэффициентом 2 и 3 соответственно.

Заметим, что

• $|C_3| \le \displaystyle\sum_{i=1}^m|I_i''|| = 3^n \displaystyle\sum_{i=1}^m|I_i| < 3^n \ve$

• расстояние $\rho(\partial C_2, \partial C_3) = \delta_1 > 0$ (теорема про расстояние между компактами)

• Множество $K = I\backslash(C_2\backslash \partial C_2)$ - компакт. Кстати, любое множество с диаметром меньше $\delta_1$ либо польностью лежит в $C_3$, либо полностью в $K$.

• $T_{\ve} \cap K = \varnothing$, т.к. $T_{\ve} \subset C_1 \subset C_2$. Следовательно, $\forall x\in K \,\, \omega(f, x) < \ve$. Тогда по теореме Кантора-Гейне $\exists \delta_2 > 0: \,\, \forall x\in K \,\, \omega(f, B_{\delta_2}(x)) < \ve + \ve = 2\ve$ \end{itemize}

Выберем $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Тогда для любых разбиений $\T_1 = \{I_k^1\}, \T_2 = \{I_i^2\}: \lambda{\T_1} < \delta, \lambda(\T_2) < \delta$

Рассмотрим пересечение этих разбиений $\T = \T_1 \cap \T_2$, т.е. такое разбиение $\T = \{I_{ik}\}$, что $I_k^1 = I_{i_1k} \bigsqcup\ldots\bigsqcup I_{i_mk}$ и $I_i^2 = I_{ik_1} \bigsqcup \ldots\bigsqcup I_{ik_l}$. Очевидно $\lambda(\T) < \delta$.

Для произвольных наборов отмеченных точек:

Рассмотрим отдельное слагаемое:

т.к. $f$ ограничена некоторой константой $M$ и см пункты $a), d)$, то

Т.к. для $(\T_2, \xi^2)$ все выкладки аналогичные, то получаем:

Следовательно, существует предел $\displaystyle\lim_{\lambda(\T)\to0}\sigma(f, \T, \xi)$ (Критерий коши для функций)