Лекция 9. Функциональные последовательности-2

Супремальный критерий¶

Proof

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

$f_n\overset{\dop}{\uniconverges}f$ , т. е. $\forall\ve>0,\exists N(\ve),\forall n>N,\forall x\in \dop \hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\dfrac{\ve}{2}$
так как выполняется $\forall x\in \dop$ , то верно, что в худшем случае

\sup_D|f_n(x)-f(x)|\leq\frac{\ve}{2}<\ve

т. е. $\forall\ve>0,\exists N(\ve), \forall n>N, \forall x\in \dop \hookrightarrow \displaystyle\sup_D|f_n(x)-f(x)|<\ve$
Получили, что $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sup_D|f_n(x)-f(x)|=0$ .

$(\Leftarrow)$ Достаточность.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup_D|f_n(x)-f(x)|=0\implies$ по определению $\lim\colon$

\forall\ve>0,\exists N(\ve),\forall n>N\hookrightarrow\displaystyle\sup_D|f_n(x)-f(x)|<\ve

Однако мы знаем, что

|f_n(x)-f(x)|\leq\sup_D|f_n(x)-f(x)|\implies

выполнено $\forall \ve>0,\exists N(\ve),\forall n>N,\forall x\in \dop\hookrightarrow|f_n(x)-f(x)|<\ve\implies$ определение равномерной сходимости выполняется: $f_n(x)\overset{\dop}\uniconverges f(x)$ .

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности¶

Proof

$(\Rightarrow)$ Необходимость

f_n\overset{\dop}\uniconverges f,\forall\ve>0,\exists N(\ve)\colon\forall n>N,\forall x\in \dop,\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\frac{\ve}{2}

тогда для $\forall n, m > N$ , используя неравенство треугольника, рассмотрим

\begin{align*} |f_n(x)-f_m(x)|&=|f_n(x)-f_m(x)+f(x)-f(x)|\\ &\leq\underbrace{|f_n(x)-f(x)|}_{<\ve}+\underbrace{|f_m(x)-f(x)|}_{<\ve}<\ve \end{align*}

Имеем буквально $\forall \ve > 0, \exists N(\ve)\colon \forall n, m > N, \forall x \in \dop \hookrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\ve$ .

$(\Leftarrow)$ Достаточность

Пусть верно, что $\forall\ve>0,\exists N\colon \forall n,m>N(\ve),\forall x\in \dop \hookrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\dfrac{\ve}{2}$ .

Пусть $x_0\in \dop$ , тогда $\forall \ve >0, \exists N(\ve)\colon \forall n,m > N \hookrightarrow |f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\dfrac{\ve}{2}\implies$ выполнен критерий Коши для числовых последовательностей. Соответственно $\displaystyle\exists\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)$ , то есть $\forall$ фиксированного $x_0\in \dop, |f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\dfrac{\ve}{2}$ в худшем случае имеем $|f_n(x_0)-f(x_0)|\leq\dfrac{\ve}{2}$ .

Cделаем этот предельный переход в исходном при $m\to\infty$ , получаем

\forall\ve>0,\exists N(\ve),\forall n >N,\forall x\in \dop\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|\leq\dfrac{\ve}{2}<\ve

Theorem 9.3 (О почленном переходе к пределу)

\left.\begin{align*} &f_n,f\colon \dop\mapsto\RR\\ &x_0 \text{ — предельная точка } \dop\\ &f_n\overset{\dop}\uniconverges f\\ &\forall n\in N,\exists\lim_{x\to x_0}f_n(x)=c_n \end{align*}\right\}\implies\begin{align*} &\exists\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{x\to x_0} f(x)\\ &\left(\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{x\to x_0} f_n(x)\right)=\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{n\to\infty} f_n(x)\right)\right) \end{align*}

Proof 9.1

Покажем, что $\exists c\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n$ . Рассмотрим
$\begin{align*} |c_n-c_m&|=|c_n-c_m+f_n(x)-f_n(x)+f_m(x)-f_m(x)|\leq\\ &\underset{(1)}{|c_n-f_n(x)}|+\underset{(2)}{|f_n(x)-f_m(x)|}+\underset{(3)}{|f_m(x)-c_m|}\leq\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve \end{align*}$
- $(1)$ и $(3)$ : из условия $\displaystyle\forall n\in\NN,\exists\lim_{x\to x_0}f_n(x)=c_n$ получаем
$\forall n \in \NN, \forall\ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in\overset{\circ}\ball_\delta(x_0)\cap \dop\hookrightarrow |f_n(x)-c_n|<\frac{\ve}{3}$
- $(2)$ из условия $f_n(x)\overset{\dop}\uniconverges f(x)$ по Критерию Коши верно, что
$\forall\ve>0,\exists N(\ve)\colon\forall n,m>N,\forall x\in \dop\hookrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\ve}{3}$
а значит и $\forall x\in \overset{\circ}\ball_\delta(x_0)\cap \dop$
Получаем, что по Критерию Коши для числовых последовательностей
$\forall\ve>0,\exists N(\ve),\forall n,m>N\hookrightarrow |c_n-c_m|<\ve\implies\exists\lim_{n\to\infty}c_n=c$

Покажем теперь, что $\displaystyle\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=c$ . Рассмотрим
$\begin{align*} |f(x)-c|&=|f(x)-c+f_n(x)-f_n(x)+c_n-c_n|\\ &\leq\underbrace{|f(x)-f_n(x)|}_{(1)}+\underbrace{|f_n(x)-c_n|}_{(2)}+\underbrace{|c_n-c|}_{(3)}<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve \end{align*}$
- $(1)$ : условие $f_n(x)\overset{\dop}\uniconverges f(x)\implies$
  $\forall\ve>0,\exists N_1(\ve)\colon\forall n>N,\forall x\in \dop\hookrightarrow |f(x)-f_n(x)|<\frac{\ve}{3}$
  Это тем более верно для $\forall x\in \overset{\circ}\ball_\delta(x_0)\cap \dop$
- $(2)$ : из условия $\displaystyle\forall n\in\NN,\exists\lim_{x\to x_0}f_n(x)=c_n\implies$
  $\forall n, \forall\ve >0,\exists\delta(\ve, n)>0,\forall x\in \circ{\ball_\delta}(x_0)\cap \dop\hookrightarrow |f_n(x)-c_n|<\frac{\ve}{3}$
- $(3)$ : из пункта 1 $\implies\forall\ve>0,\exists N_2\colon\forall n> N_2\hookrightarrow |c_n-c|<\frac{\ve}{3}\implies$ получаем, что
  $\forall\ve>0,\exists N=\max\{N_1,N_2\},\exists\delta>0,\forall x\in\overset{\circ}\ball_\delta(x_0)\cap \dop\hookrightarrow|f(x)-c|<\ve$
В конце концов получили, что $\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=c$

Proof 9.2

Что значит, что $f\in \contclass(\dop)$ ?

Нужно доказать, что $\forall x_0\in \dop,\forall \ve>0,\exists\delta>0,\forall x\in \ball_\delta(x_0)\cap \dop\hookrightarrow|f(x)-f(x_0)<\ve$

Тогда рассмотрим

\begin{align*}|f(x)-f(x_0)|&\leq\underbrace{|f(x)-f_n(x)|}_{(1)}+\underbrace{|f_n(x)-f_n(x_0)|}_{(2)}+\underbrace{|f_n(x_0)-f(x_0)|}_{(3)}\\&<\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}+\frac{\ve}{3}=\ve\end{align*}

$(1)$ : из условия $f_n\overset{\dop}\uniconverges f\implies\forall\ve>0,\exists N\colon \forall n>N,\forall \underbrace{x\in \dop}_{(\forall x\in \ball_\delta(x_0)\cap \dop)}\hookrightarrow |f(x)-f_n(x)|<\frac{\ve}{3}$
$(2)$ : из условия $\forall n\in\NN, f_n\in \contclass(\dop)\implies\forall x_0\in \dop,\forall\ve>0,\exists\delta>0, \forall x\in\ball_\delta(x_0)\cap \dop\hookrightarrow |f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac{\ve}{3}$
$(3)$ : из условия $f_n\overset{\dop}\uniconverges f\implies\underbrace{\forall\ve>0,\exists N,\forall n>N,\forall x_0\in \dop}_{\text{поточечная сходимость}}\hookrightarrow|f_n(x_0)-f(x_0)|\leq\frac{\ve}{3}$

Получаем, что

\forall x\in \dop,\forall\ve>0,(\exists N,\forall n>N),\exists\delta>0,\forall x\in \ball_\delta(x_0)\cap \dop\hookrightarrow\\ |f(x)-f(x_0)|<\ve\implies f(x)\in \contclass(\dop)

Proof 9.3

От противного:

Пусть $f_n\overset{(a,b)}\uniconverges f$ , тогда

\forall\ve>0,\exists N_1(\ve)\colon\forall n>N,\forall x\in(a,b)\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\ve

Знаем, что $f_n\xrightarrow{[a,b)}f$ , то есть для $a\in[a, b)$ верно $f_n(a)\xrightarrow[n\to\infty]{} f(a)$ , то есть

\begin{align*} \forall &v\in \dop, \forall \ve>0 \exists N(x, \ve)\colon n > N\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)| < \ve\implies\\ &a\in \dop, \forall\ve>0,\exists N_2(v_e),\forall n>N\hookrightarrow|f_n(a)-f(a)|<\ve \end{align*}

Из п. 1 и 2 получаем

\forall\ve>0,\exists N=\max\{N_1,N_2\},\forall n>N,\forall x\in[a, b)\hookrightarrow |f_n(x)-f(x)|<\ve

т. е.

\boxed{f_n(x)\overset{[a, b)}\uniconverges f(x)}

В итоге имеем:

\begin{align*} f_n\in \contclass([a, b))\\ f_n\overset{[a, b)}\uniconverges f \end{align*}\implies

но по Теореме о непрерывности предельной функции: $f(x)\in \contclass[a, b)$ , но известно, что $f(x)$ имеет разрыв в точке $a\implies X$ и предположительно неверно, т. е. $f_n\overset{(a, b)}{\not\uniconverges} f$ так как это противоречит наличию разрыва $f$ в точке $a$ .

Example 9.2

Вспомним пример.

$f_n(x)=x^k$ на

\begin{align*} &D_1=[0, q],\quad 0<q<1\\ &D_2=[0, 1)\\ &D_3=[0, 1] \end{align*}

Исследуем на равномерную сходимость

$D_1$ : Знаем, что $f_n(x)\xrightarrow{D_1}0$

\limsup_{D_1}|f_n(x)-0|=\limsup_{D_1}|x^k|\leq\limsup_{n\to\infty}q^n=0\implies f_n\overset{D_1}\uniconverges f

$D_2$ : $f_n(x)\xrightarrow{D_2} 0, f_n\in\contclass(D_2)$

\limsup_{D_2}|x^n|=1\xrightarrow[n\to\infty]{}1\neq 0\implies f_n\overset{D_2}{\not\uniconverges} 0

$D_3$ : $f_n(x)\xrightarrow{D_3}f, f_n\in\contclass(D_3), f(x)=\left[\begin{gathered} 0, & 0 < x < 1\\ 1, & x = 1 \end{gathered}\right.$

\sup_{D_3}|x^m-f(x)|=1\implies f_n\overset{D_3}{\not\uniconverges}f

Поэтому понятно, почему нельзя было гарантировать, что

f_n\in \contclass[0, 1]\implies f\in \contclass[0, 1]

Конспекты

Лекция 8. Функциональные последовательности-1

Конспекты

Лекция 10. Неравномерная сходимость, интегрирование, дифференцирование функциональных последовательностей