Лекция 6. Суммы Дарбу

Суммы Дарбу¶

Proof

$\T=\{I_i\}^k_{i=1}$
$\displaystyle\Sl(f,\TT)=\sum_{i=1}^k m_i|I_i|=\sum_{i=1}^k\inf_{\xi_i}(f(\xi_i))\cdot|I_i|=\inf_\bxi\sum_{i=1}^k f(\xi_i)\cdot|I_i|=\inf_\bxi\sigma(f,\TT,\xi)\leq\sup_\bxi\sigma(f,\TT,\xi)=\sum_i\sup_{\xi_i}(f(\xi_i))\cdot|I_i|=\sum_{i=1}M_i|I_i|=\Su(f,\TT)$

$\tilde \TT$ — измельчение $\TT$ , тогда $\tilde\TT=\{I_j\}_{j=1}^{m\geq k}$ .

Если $L\subset M$ , то $\inf L\geq \inf M$ и $\sup L\leq \sup M$ , тогда по первому пункту

\begin{align*} \Sl(f,\TT)&=\sum_{i=1}^k\inf_{\xi_i\in I_i} f(\xi_i)\cdot |I_i|\leq \sum^m_{j=1} \inf_{\tilde\xi_j\in \tilde I_j} f(\tilde \xi_j)\cdot|\tilde I_j|\\ &\leq \sum^m_{j=1}\sup_{\tilde \xi_j\in \tilde I_j} f(\tilde \xi_j)\cdot |\tilde I_j|\leq \sum^k_{i=1} \sup_{\xi_i\in I_i}f(\xi_i)\cdot |I_i|=\Su(f,\TT) \end{align*}

то есть в итоге получили

\Sl(f,\TT)\leq\Sl(f,\tilde\TT)\leq\Su(f,\tilde\TT)\leq\Su(f,\TT)

$\forall\TT_1,\TT_2$ , тогда по второму пункту и первому пункту

\Sl(f,\TT_1)\overset{2}{\leq}\Sl(f,\TT_1\cap\TT_2)\overset{1}{\leq}\Su(f,\TT_1\cap\TT_2)\overset{2}{\leq}\Su(f,\TT_2)

Proof 6.1

Докажем, что $\displaystyle\Il=\lim_{\Delta_\TT\to0}(\Sl(f,\TT))=\sup_\TT\Sl(f,\TT)$

$f$ — ограничена на $I$ , то $\exists c>0,\forall x\in I,|f(x)|<c$ .

По определению $\displaystyle \Il=\sup_\TT\Sl(f,\TT)$ , то $\forall\ve>0,\exists\TT=\{I_i\}^k_{i=1}\colon$

\boxed{\Il-\ve<\Sl(f,\TT)\leq\Il<\Il+\ve}

Пусть $\displaystyle G=\bigsqcup_{i=1}^{k_1}\partial I_i$ — объединение границ брусов (оно дизъюнктное, то есть без повторов). $\implies G$ — множество меры нуль по Лебегу (т. к. границы — множества меры нуль).
Пусть $\tilde \TT$ — произвольное разбиение $I\colon\tilde\TT=\{\tilde I_j\}^m_{j=1}$ . Рассмотрим две кучки брусов:
$\boxed{A=\{\tilde I_j\in \tilde\TT \colon \tilde I_j\cap G\neq\varnothing\},\quad B=\tilde\TT\setminus A}$

$\implies\forall\ve>0,\exists \delta>0\colon\forall\tilde\TT\colon\Delta_{\tilde\TT}<\delta\hookrightarrow\boxed{\sum_{\tilde I_j\in A}|\tilde I_j|<\ve}$
по определению множества меры нуль, так как $A$ — покрытие $G$ замкнутыми брусами, $G$ — множество меры нуль по Лебегу.
С другой стороны $\forall \tilde I_j\in B\implies \tilde I_j \in \TT \cap \tilde \TT$ . Хотим рассмотреть
$\begin{align*} |\Il - \Sl(f, \tilde\TT)|&=|\Il-\Sl(f, \TT \cap \tilde \TT) + \Sl(f, \TT \cap \tilde \TT) - \Sl(f, \tilde \TT)|\\ &\leq |\Il - \Sl(f, \TT \cap \tilde\TT)| + |\Sl(f, \TT \cap \tilde\TT)-\Sl(f, \tilde\TT)|\\ &<\ve+2\const\ve=\ve(1+2\const) \end{align*}$
1. Из пункта 2 получаем, что $\Il - \ve < \Sl(f, \TT)\leq \Sl(f, \TT \cap \tilde\TT) \leq \Il < \Il + \ve \implies |\Il - \Sl(f, \TT \cap \tilde\TT)| < \ve$
2. $\begin{align*} |\Sl (f, \TT \cap \tilde\TT) - \Sl(f, \tilde\TT)|& =\left|\cancel{\sum_{\tilde I_j \in B}f(\xi_i)|\tilde I_j|}+\sum_{I_i\in(\TT\cap \tilde\TT)\setminus B}f(\xi_i)|I_j|\right.\\ &\ \ \ \left.-\cancel{\sum_{\tilde I_j\in B}f(\xi_i)|\tilde I_j|}-\sum_{I_j\in A}f(\xi_i)|\tilde I_j|\right|\\ &=\left|\sum_{I_i\in(\TT\cap \tilde\TT)\setminus B}f(\xi_i)|I_j|-\sum_{\tilde I_j\in A}f(\xi_i)|\tilde I_j|\right|\\ &\leq\left|\sum_{I_i\in(\TT\cap \tilde\TT)\setminus B}f(\xi_i)|I_j|\right|+\left|\sum_{\tilde I_j\in A}f(\xi_i)|\tilde I_j|\right|\\ &\leq 2\left|\sum_{\tilde I_j\in A}f(\xi_i)|\tilde I_j|\right|<2\const\left|\sum_{\tilde I_j\in A}|\tilde I_j|\right|\leq 2\const\cdot\ve \end{align*}$

Proof 6.2

$(\Rightarrow)$ Необходимость.

$f\in\mathcal{R}(I)\implies$ по необходимому условию интергируемости по Риману $f$ ограничена на $I$ .
Идея: показать, что $\Il=\II$ и $\Iu=\II \implies \boxed{\Il=\Iu}$ .
1. $f\in\mathcal{R}(I)\implies\exists \II,\forall\varepsilon>0,\exists\delta >0\colon\forall(\TT,\xi)\colon\Delta_\TT<\delta$ .
1. $|\underbrace{\sigma(f,\TT,\xi)}_\sigma-\II|<\frac{\varepsilon}{3}$
$\begin{align*}|\Il-\II|&=|\II-\Il-\sigma+\sigma+\Sl-\Sl|\\&\leq\underbrace{|\II-\sigma|}_{<\frac{\varepsilon}{3}}+\underbrace{|\Il-\Sl|}_{<\frac{\varepsilon}{3}}+\underbrace{|\sigma-\Sl|}_{<\frac{\varepsilon}{3}}<\varepsilon\end{align*}$
1. $\Il=\sup_{\TT}\Sl(f,\TT)=\lim_{\Delta\to0}\Sl(f,\TT)\implies|\Il-\Sl|<\frac{\varepsilon}{3}$
2. $\Sl(f,\TT)=\inf_\bxi\sigma(f,\TT,\bxi)\implies \forall \ve>0,\exists \xi\colon |\Sl-\sigma|<\frac{\ve}{3}$
3. Симметричное доказательство для $|\Iu-\II|$ как в [пункте 2].(#darbu-point-2). Доказали равество с $\II$ для каждой суммы Дарбу.
4. Получаем, что $\Il=\II \ \land \ \Iu=\II \implies \boxed{\Il=\Iu}$ .

$(\Leftarrow)$ Достаточность.

$f$ — ограничена и $\Il=\Iu$ . Имеем

\Sl(f,\TT)=\inf_\xi\leq\sigma(f,\TT,\xi)\leq\sup_\xi(f,\TT,\xi)=\Su(f,\TT)

Тогда при $\displaystyle \lim_{\Delta\to0}\Sl=\Il,\lim_{\Delta\to0}\Su=\Iu$ получаем $\Il=\Iu$ .

Конспекты

Лекция 5. Расстояния. Колебания функции

Конспекты

Лекция 7. Интеграл Римана на допустимых множествах.