Лекция 15. Ряды Фурье–1. Введение

Введение из линейной алгебры¶

$V$ — линейное векторное пространство над полем $\FF=(\RR, \CC)$
$f_1,\ldots,f_n$ — векторы или функции, задано $X\in\RR^n$
$\lambda_i\in\FF$

\lambda_1 f_1+\ldots+\lambda_n f_n

f=\sum^\infty_{i=1}\lambda_i f_i,\quad S_n=\sum^n_{i=1}\lambda_i f_i

$f$ — $S_n\to 0$

Скалярное произведение¶

Definition 15.1 (Скалярное произведение)

$\langle \cdot, \cdot \rangle$ , заданная на $V$ над $\FF=(\CC, \RR)$ , называется скалярным произведением, если

$\langle x, x\rangle\geq 0$ , причём $\langle x, x\rangle=0\iff x=0, \forall x\in V$ .
$\langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x \rangle}, \forall x, y\in V$
$\forall x, x_1, x_2, y\in V, \alpha \in \FF:$
$\langle \alpha x, y \rangle=\alpha \langle x, y\rangle$
$\langle x, \alpha y \rangle=\overline{\alpha} \langle x, y\rangle$
$\langle x_1+x_2, y\rangle = \langle x_1, y \rangle + \langle x_2, y\rangle,$

Ортогональность¶

Ортонормированность¶

Линейная независимость¶

Example 15.1

$V$ — векторное пространство функций:
$\forall f\in V$ верно $f\colon D\in \RR^n\mapsto \RR$ , $f\in\riemann(\fset), |f|^2\in\riemann(\fset)$ . Зададим

\langle f, g\rangle=\int\limits_\fset f\cdot g \d x

0\leq|f \cdot g|\leq \frac{1}{2}|f|^2+\frac{1}{2}

\fset=[-\pi, \pi],\quad \langle f, g \rangle= \int\limits^\pi_{-\pi}f\cdot g \d x

$\{1,\sin nx, \cos nx\}_{n\in\NN}$ — ортогональная система.

\begin{align*}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos nx \cdot \cos mx \d x &=\left[\begin{align*} &0, &&m \neq n\\ &\pi, &&m=n\neq 0\\ &2\pi, &&m=n=0 \end{align*}\right.\\ \int\limits_{-\pi}^\pi\cos nx \cdot \sin mx \d x&=0\\ \int\limits_{-\pi}^\pi\sin nx\cdot \sin m x \d x &=\left[\begin{align*} &0, &&m\neq n\\ &\pi, &&m=n\neq 0 \end{align*}\right.\end{align*}

Ортогонализация Грама-Шмидта¶

Algorithm 15.1 (Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта)

Пусть $a_1, a_2, \ldots$ — система линейно независимых векторов.

\begin{align*} b_1&=a_1\\ b_2&=a_2-\frac{(a_2, b_1)}{(b_1, b_1)} b_1\\ &\ \vdots\\ b_k&=a_k-\sum^{k-1}_{i=1}\frac{(a_k, b_i)}{(b_i, b_i)} b_i \end{align*}

$b_1,\ldots,b_k,\ldots$ — ортогональная система.
$c_i=\dfrac{b_i}{||b_i||}$ , $c_1,\ldots, c_n,\ldots$ — ортонормированная система векторов.

Непрерывность скалярного произведения¶

Theorem 15.1 (О непрерывности скалярного произведения)

Пусть $\langle \cdot, \cdot \rangle\colon V\times V\mapsto \CC$ — скалярное произведение на $V$ над $\CC$ . Тогда

$f(x,y)=\langle x, y\rangle$ — непрерывна по совокупности переменных.
Если $\displaystyle x=\sum^\infty_{i=1}x_i$ , то $\displaystyle\langle x, y\rangle=\sum^\infty_{i=1}\langle x_i, y\rangle$ .
Если $\{e_i\}^\infty_{i=1}$ — ортонормированная система векторов $V$ и $\displaystyle x=\sum^\infty_{i=1}x_i e_i$ и $\displaystyle y=\sum^\infty_{j=1} y_j e_j$ , то $\langle x, y\rangle=\displaystyle \sum^\infty_{i=1}x_i \bar y_i$

Proof 15.1

$\begin{align*} x\in V\mapsto x_0\in V, &\forall \ve >0, \exists \delta=\ve\colon\\ &\forall x \in \overset\circ\ball_\delta(x_0)\colon ||x-x_0||<\ve, \quad (x_0, y_0)\in V \end{align*}$
$\begin{align*} |f(x, y)- f(x_0, y_0)|&=|\underline{\langle x, y \rangle} + \underline{\underline{\langle x_0, y\rangle}} - \underline{\langle x_0, y\rangle} \\ &\qquad\qquad+\ \langle x, y_0 \rangle - \langle x, y_0 \rangle - \underline{\underline{\langle x_0, y_0 \rangle}} |\\ &= |\langle x- x_0, y\rangle | + |\langle x_0, y-y_0\rangle |\\ &\leq ||x-x_0||^2\cdot ||y||^2 + ||x_0||^2\cdot ||y-y_0||^2\\ &< \ve^{\frac{1}{2}}\cdot||y||^2+ \cancel{||x_0||^2\cdot \ve^{\frac{1}{2}}}\\ &=2\ve^{\frac{1}{2}}\underset{\ve^\frac{1}{4}}{\delta}+\ve^{\frac{1}{2}}\cdot||y_0||=2\ve^{\frac{3}{4}}+\ve^\frac{1}{2}\cdot ||y_0|| \end{align*}$
Что будет верно $\forall \ve >0, \exists \delta=\ve^{\frac{1}{4}}\colon \forall(x, y)\in\ball_\delta(x_0, y_0)$
$x=\sum^\infty_{i=1}x_i,\quad S_n=\sum^n_{i=1}x_i$
$\langle x, y \rangle=\left\langle \sum^n_{i=1} x_i, y \right\rangle+\left\langle \sum^\infty_{i=n+1}x_i, y\right\rangle=\sum^n_{i=1}\langle x_i, y\rangle + \langle x - S_n, y\rangle$
Это выражение будет $\displaystyle\xrightarrow{n\to\infty}\sum^\infty_{i=1}\left\langle x_i, y\right\rangle + \cancel{\left\langle 0, y \right\rangle}$ при $||x-S_n||\xrightarrow{x\to\infty}0$ .
$\{e_i\}$ — ортонормированная система векторов. $\langle e_i, e_j \rangle =\delta_{ij}$ .
$\begin{align*} \langle x, y\rangle&=\sum^n_{i=1}\langle x_i e_i, y\rangle + \left\langle\sum^\infty_{i=n+1}x_ie_i, y\right\rangle\\ &=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\underbrace{\langle x_ie_i, y_je_j\rangle}_{x_i\bar y_j\underset{\delta_{ij}}{\langle e_i, e_j\rangle}} + \sum^n_{i=1}\left\langle x_ie_i, \sum^\infty_{j=n+1}y_je_j\right\rangle+\left\langle \sum^\infty_{i=n+1}x_i e_i, y \right\rangle\\ &=\sum^\infty_{i=1} x_i \bar y_i + \langle x, 0\rangle + \langle 0, y \rangle\\ \end{align*}$
$S_n = \sum^n_{i=1} x_i e_i, \forall \ve > 0, \exists N_1\colon \forall n > N_1, ||S_n-x|| < \ve$
$\tilde S_n=\sum^n_{i=1} y_ie_i, \forall \ve > 0, \exists N_2\colon \forall n > N_2, ||\tilde S_n - y||< \ve$
$n > N$ , где $N=\max\{N_1, N_2\}$ .

Ряды Фурье¶

$\ds x=\sum_i x_ie_i$ , $\{e_i\}$ — ортогональная система векторов.

$\langle x, e_j\rangle=x_j\langle e_j, e_j\rangle$

$x_j=\dfrac{\langle x, e_j\rangle}{\langle e_j, e_j\rangle}$

Архив

Лекция 14. Степенные ряды-2

Архив

Лекция 16. Ряды Фурье–2