Лекция 2, 09.09.2024

P(A)=\sum_{w_i\in A}P(w_i)

Example 1 (Задача об авариях)

Известно, что 40% автомобильных аварий совершаются людьми в состоянии алкогольного опьянения.

P(\Pi|\Alpha)=0.4\implies P(T|\Alpha)=0.6

P(\Pi)=0.05

\frac{P(\Alpha|\Pi)}{P(\Alpha|\Tau)}=\frac{P(\Alpha\cap \Pi)/P(\Pi)}{P(\Alpha \cap \Tau)/P(\Tau)}=\frac{P(\Pi|\Alpha)\cancel{P(\Alpha)}}{P(\Tau|\Alpha)\cancel{P(\Alpha)}}\cdot\frac{P(\Tau)}{P(\Pi)}=\frac{0.4}{0.6}\frac{0.95}{0.05}=12.7

Независимость событий¶

Для независимых событий:

P(A|B)=P(A)

Замечание

Для $A_1,A_2,A_3$ :

P(A_1\cap A_2)=P(A_2\cap A_3)=P(A_1\cap A_3)\\ P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)

Контрпример, где все попарные события независимы.

3 стороны тетраэдра покрашены в красный, жёлтый и зелёный. Четвёртая покрашена во все три цвета.

\frac{1}{4}=P(A\cap B\cap C)

P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}

\frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C)\neq P(A\cap B\cap C)

Example 2

$A_1,A_2,A_3$ — независимы в совокупности, то $\overline A_1,A_2,A_3$ — независимы в совокупности.

P(\overline A_1\cap A_2)\overset{?}{=}P(\overline A_1)P(A_2)

P(\overline A_1\cap A_2)=P(A_2\setminus A_1)=P(A_2)-P(A_2\cap A_1)=P(A_2)P(A_1)

P(A_2)-P(A_2\cap A_1)=P(A_2)(1-P(A_1))=P(A_2)P(\overline A_1)\implies \\P(A_2)P(\overline A_1)=P(A_2)P(A_1)

P(\overline A_1\cap A_2\cap A_3)=P((A_2\cap A_3)\setminus A_1)=P(A_2)P(A_3)-P(A_1\cap A_2\cap A_3)\\=P(A_1)P(A_2)P(A_3)=P(\overline A_1)P(A_2)P(A_3)

Example 3 (Простейший вариант ЗБЧ / Неизбежность технологических катастроф)

\forall i \Bigm| 0<\varepsilon\leq P(A_i)\ll 1

P(\text{хотя бы один узел выйдет из строя})=P(A_1\cup\ldots\cup A_n)=\\1-P(\overline A_1\cap\ldots\cap \overline A_n)=1-\prod^n_{i=1}P(\overline A_i)=1-\prod^n_{i=1}\underbrace{(1-P(A_i))}_{\leq 1-\varepsilon}\geq 1-(1-\varepsilon)^n\xrightarrow{n\to\infty} 1

Это означает, что при количестве узлов, стремящихся в бесконечность, технологические катастрофы неизбежны (их вероятность равна 1).

P(H_k|A)=\frac{P(A|H_k)P(H_k)}{P(A)}=\frac{P(A|H_k)P(H_k)}{\sum^n_{i=1}P(A|H_i)P(H_i)}

Example 4

У меня СПИД, конкретно.

Классическая задачка на false negatives и false positives. Мы хотим посчитать true positive в итоге:

$P(\text{AIDS})=0.03$ — у человека есть СПИД
$P(+|\text{AIDS})=0.98$ — чувствительность теста, aka шанс того, что тест поймает СПИД у носителя
$P(+|\overline{\text{AIDS}})=0.01=(1-\text{специфичность теста})$ — шанс того, что тест даст false positive
$P(\text{AIDS}|+)=\displaystyle\frac{P(+|\text{AIDS})P(\text{AIDS})}{P(+|\text{AIDS})P(\text{AIDS})+P(+|\overline{\text{AIDS}})P(\overline{\text{AIDS}})}=\frac{0.98\cdot0.03}{0.98\cdot0.03+0.01\cdot0.97}=0.75$

Из этого следует, что $25\%$ положительных кейсов будут false positives.