Skip to article frontmatterSkip to article content

Задача 1

Ω=[0,1],F=B([0,1]),P(A)\Omega=[0, 1],\quad\FF=\BB([0, 1]),\quad \PP(A) — длина множества А∈FА\in\FF, ξ(ω)=ω2\xi(\omega)=\omega^2 — случайная величина

Подзадача А

Fξ(x)=P({ξ≤x})=P({ω∈Ω ⁣:ξ(ω)≤x})=P({ω∈[0,1] ⁣:ω2≤x})={0при x<0xпри 0≤x≤11при x>1\begin{align*}F_\xi(x)&=\PP(\{\xi\leq x\})=\PP(\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\leq x\})\\&=\PP(\{\omega\in[0, 1]\colon\omega^2\leq x\}) \\&=\begin{cases} 0 & \text{при } x < 0\\ \sqrt{x} & \text{при } 0\leq x\leq 1\\ 1 & \text{при } x > 1\\ \end{cases} \end{align*}
0≤x≤1 ⁣:P({ω∈[0,1] ⁣:ω2≤x})=P({ω∈[0,1] ⁣:−x≤ω≤x})=P([0,x])=x\begin{align*}0\leq x\leq 1\colon &\PP(\{\omega\in[0, 1]\colon\omega^2\leq x\})=\\&\PP(\{\omega\in[0, 1]\colon-\sqrt{x}\leq\omega\leq\sqrt{x}\})=\\& \PP([0,\sqrt{x}])=\sqrt{x} \end{align*}
Fξ(x)=∫−∞xfξ(t)dtF_\xi(x)=\int^x_{-\infty}f_\xi(t)\d t
ddxFξ(x)=fξ(x)\boxed{\frac{\d}{\d x}F_\xi(x)=f_\xi(x)}

Подзадача B

fξ(x)=ddxFξ(x)={0,при x<0122,при 0<x≤10,при x>1f_\xi(x)=\frac{\d}{\d x}F_\xi(x)=\begin{cases} 0, & \text{при } x < 0\\ \frac{1}{2\sqrt{2}}, & \text{при } 0 < x \leq 1\\ 0, & \text{при } x > 1\\ \end{cases}

Подзадача C

E[ξ]=∫−∞+∞xfξ(x)dx\EE[\xi]=\int^{+\infty}_{-\infty}xf_\xi(x)\d x

Если ∫−∞+∞∣x∣fξ(x)dx\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}|x|f_\xi(x)\d x сходится

∫01x12xdx=12∫01xdx=12x3232∣x=0x=1=13\int_0^1x\frac{1}{2\sqrt{x}}\d x=\frac{1}{2}\int^1_0\sqrt{x}\d x=\frac{1}{2}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\biggm|^{x=1}_{x=0}=\frac{1}{3}

Подзадача D

E[ξ2]=∫−∞+∞x2fξ(x)dx=∫01x212xdx=12∫01x32dx=12x5252∫x=0x=1=15\begin{align*} \EE[\xi^2]&=\int^{+\infty}_{-\infty}x^2f_\xi(x)\d x=\int^1_0 x^2\frac{1}{2\sqrt{x}}\d x\\&=\frac{1}{2}\int^1_0 x^{\frac{3}{2}}\d x=\frac{1}{2}\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\int^{x=1}_{x=0}=\frac{1}{5}\end{align*}

Подзадача E

D(ξ)=E[ξ2]−[Eξ]2=15−(15)−(13)2=15−19=9−545=445D(\xi)=\EE[\xi^2]-[\EE\xi]^2=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{5}\right)-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{9-5}{45}=\frac{4}{45}

Задача 2

fξ(x)={cx,x∈[0,1],0,x∉[0,1]f_\xi(x)=\begin{cases} cx, & x\in[0, 1], 0, & x\not\in[0, 1] \end{cases}
Fξ(x)=∫−∞xfξ(t)dtF_\xi(x)=\int^x_{-\infty}f_\xi(t)\d t
1=∫−∞+∞fξ(t)dt1=\int^{+\infty}_{-\infty}f_\xi(t)\d t

Подзадача А

1=∫−∞+∞fξ(t)dt=∫01c⋅tdt=c⋅t22∣t=0t=1=c2  ⟹  c=21=\int^{+\infty}_{-\infty}f_\xi(t)\d t=\int^1_0 c\cdot t\d t=c\cdot\frac{t^2}{2}\biggm|^{t=1}_{t=0}=\frac{c}{2}\implies c=2

Подзадача Б

P({ξ≤12})=P({ξ∈(−∞,12]⏟=B})=∫Bfξ(t)dt=∫−∞12fξ(t)dt=∫0122tdt=t2∣t=0t=12=14\begin{align*} \PP(\{\xi\leq\tfrac{1}{2}\})&=\PP(\{\xi\in\underbrace{(-\infty,\tfrac{1}{2}]}_{=B}\})\\&=\int_B f_\xi(t)\d t=\int^{\frac{1}{2}}_{-\infty}f_\xi(t)\d t=\int^{\frac{1}{2}}_02t\d t=t^2\biggm|^{t=\frac{1}{2}}_{t=0}=\frac{1}{4} \end{align*}

Подзадача С

P({ξ∈[12,32]})=∫Bfξ(t)dt=∫1212tdt=t2∣t=12t=1=1−14=34\PP(\{\xi\in[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}]\})=\int_Bf_\xi(t)\d t=\int^1_\frac{1}{2}2t\d t=t^2\biggm|^{t=1}_{t=\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

Подзадача D

P({ξ∈[2,3]})=∫[2,3]fξ(t)⏟=0dt=0\PP(\{\xi\in[2, 3]\})=\int_{[2, 3]}\underbrace{f_\xi(t)}_{=0}\d t=0

Подзадача E

  1. Пусть x<0x<0, тогда Fξ(x)=∫−∞xfξ(t)dt=0F_\xi(x)=\displaystyle\int^x_{-\infty}f_\xi(t)\d t=0.
  2. Пусть 0≤x≤10\leq x\leq 1, тогда Fξ(x)=∫−∞xfξ(t)dt=∫−∞0fξ(t)dt+∫0xfξ(t)dt=t2∣t=0t=x=x2F_\xi(x)=\displaystyle\int^x_{-\infty}f_\xi(t)\d t=\cancel{\int^0_{-\infty}f_\xi(t)\d t}+\int^x_0 f_\xi(t)\d t=t^2\biggm|^{t=x}_{t=0}=x^2
  3. Пусть x>1x>1, тогда Fξ(x)=∫−∞xfξ(t)dt=∫−∞0fξ(t)dt+∫01fξ(t)⏟2tdt+∫1xfξ(t)dt=1F_\xi(x)=\displaystyle\int^x_{-\infty}f_\xi(t)\d t=\cancel{\int^0_{-\infty}f_\xi(t)\d t}+\int^1_0\underbrace{f_\xi(t)}_{2t}\d t+\cancel{\int^x_1f_\xi(t)\d t}=1
Fξ(x)={0x<0,x20≤x≤11x>1F_\xi(x)=\begin{cases} 0 & x < 0,\\ x^2 & 0\leq x \leq 1\\ 1 & x > 1 \end{cases}

Подзадача F

E[ξ]=∫−∞+∞xfξ(x)dx=∫01x⋅2xdx=2∫01x2dx=2x23∣x=0x=1=23\begin{align*}\EE[\xi]&=\int^{+\infty}_{-\infty}xf_\xi(x)\d x=\int^1_0x\cdot 2x\d x\\&=2\int^1_0x^2dx=2\frac{x^2}{3}\biggm|^{x=1}_{x=0}=\frac{2}{3} \end{align*}

Подзадача G

E[ξ2]=∫−∞+∞x2fξ(x)dx=∫01x22xdx=2∫01x2dx=2x3dx=2x44∣x=0x=1=12\begin{align*}\EE[\xi^2]&=\int^{+\infty}_{-\infty}x^2f_\xi(x)\d x=\int^1_0 x^22x\d x=2\int^1_0 x^2\d x\\&=2\frac{x^3}{\d x}=2\frac{x^4}{4}\biggm|^{x=1}_{x=0}=\frac{1}{2} \end{align*}

Подзадача H

D(ξ)=E[ξ2]−[Eξ]2=12−(23)2=12−49=9−818=118D(\xi)=\EE[\xi^2]-[\EE\xi]^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9-8}{18}=\frac{1}{18}

Подзадача I

E[ξ]=∫01x2xdx=2∫01x32dx=2x5252∣x=0x=1=45\EE[\sqrt{\xi}]=\int^1_0\sqrt{x}2x\d x=2\int^1_0x^{\frac{3}{2}}\d x=2\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\biggm|^{x=1}_{x=0}=\frac{4}{5}

Задача 2

fξ(x)={2x,x∈[0,1],0,x∉[0,1]f_\xi(x)=\begin{cases} 2x, & x\in[0, 1],\\ 0, & x\not\in[0, 1] \end{cases}
M=med(ξ)=?M=\text{med}(\xi)=?
∫−∞Mfξ(t)dt=0.5\int^M_{-\infty}f_\xi(t)\d t=0.5
∫0M2tdt=t2∣t=0t=M\int^M_02t\d t=t^2\biggm|^{t=M}_{t=0}
M2=0.5  ⟹  M=0.5M^2=0.5\implies M=\sqrt{0.5}

Задача 3

ξ\xi — продолжительность ругания Васи родителями

ξ∼Exp(λ)  ⟺  deffξ(x)={0,x<0λe−λx,x≥0\xi\sim\text{Exp}(\lambda)\overset{def}{\iff}f_\xi(x)=\begin{cases} 0, & x <0\\ \lambda e^{-\lambda x}, & x\geq 0 \end{cases}
E[ξ]=1λ=6,D(ξ)=1λ2  ⟹  λ=16\EE[\xi]=\frac{1}{\lambda}=6,\quad D(\xi)=\frac{1}{\lambda^2}\implies\lambda=\frac{1}{6}

Подзадача А

Fξ(x)={0,x<01−e−λx,x≥0F_\xi(x)=\begin{cases}0, & x<0\\ 1-e^{-\lambda x}, & x\geq 0\end{cases}
P({ξ>6})=1−P({ξ≤6})=1−Fξ(6)=1−[1−e−λ⋅6]=e−λ⋅6=e−16⋅6=e−1\begin{align*} \PP(\{\xi>6\})&=1-\PP(\{\xi\leq 6\})=1-F_\xi(6)\\&=1-[1-e^{-\lambda \cdot 6}]=e^{-\lambda \cdot 6}=e^{-\frac{1}{6}\cdot 6}=e^{-1} \end{align*}

Подзадача B

D(ξ)=1λ2=36D(\xi)=\frac{1}{\lambda^2}=36

Подзадача С

P({ξ≤7}∣{ξ>6})=P({6<ξ≤7})P({ξ>6})⏟e−1=Fξ(7)−Fξ(6)e−1=[1−e−λ⋅7]−[1−e−λ⋅6]e−1=e−6⋅16−e−7⋅16e−1=1−e−16\PP(\{\xi\leq 7\}|\{\xi>6\})=\frac{\PP(\{6<\xi\leq 7\})}{\underbrace{\PP(\{\xi>6\})}_{e^{-1}}}=\frac{F_\xi(7)-F_\xi(6)}{e^{-1}}=\frac{[1-e^{-\lambda\cdot 7}]-[1-e^{-\lambda\cdot 6}]}{e^{-1}}=\frac{e^{-6\cdot\frac{1}{6}}-e^{-7\cdot\frac{1}{6}}}{e^{-1}}=1-e^{-\frac{1}{6}}
Времена
Семинар 6, 11.10.2024
Времена
Семинар 8, 08.11.2024