Лекция 10, 25.11.2024

Ковариация и корреляция случайных величин¶

Proof 1 (пункт 7)

\cov(\xi,\eta)=\EE[(\xi-\EE\xi)(\eta-\EE\eta)]=\EE(\xi\eta-\EE\xi\cdot\eta-\xi\cdot\EE\eta+\EE\xi\EE\eta)

Если $\xi$ и $\eta$ независимы, то $\EE(\xi\eta)=\EE\xi\EE\eta$

для абсолютно непрерывного случая:

\EE(\xi\eta)=\iint\limits_{\RR^2}xy\underbrace{f(x,y)}_{f_\xi(x)f_\eta(y)}\d x\d y=\int\limits_{-\infty}^\infty xf_\xi(x)\d x\int\limits^\infty_{-\infty}yf_\eta(y)\d y=\EE\xi\EE\eta

Proof 3 (пункт 3)

$|\rho|=1\iff\eta=a\xi+b$

Если $\eta=a\xi+b$ , то $\corr(\xi,\eta)=1$ .
$\begin{align*}\corr(\xi,\eta)&=\corr(\xi,a\xi+b)\\&=\frac{\cov(\xi,a\xi+b)}{\sigma_\xi\sqrt{\Var(a\xi+b)}}\\&=\frac{a\cov(\xi,\xi)}{\sigma_\xi|a|\sigma_\xi}=\frac{a}{|a|}=1\cdot\sign(a)\end{align*}$

$\rho=1$ , тогда

\Var(\xi^*-\eta^*)=\Var\xi^*+\Var\eta^*-2\cov(\xi^*,\eta^*)=2-2\underbrace{\corr(\xi,\eta)}_1=0

\implies \exists c\in\RR, \xi^*-\eta^*=c

\frac{\xi-\EE\xi}{\sigma_\xi}-\frac{\eta-\EE\eta}{\sigma_\eta}=c

Аналогично рассматриваем для $\rho=-1$

\Var(\xi^*+\eta^*)=0

Example 1

\Var(\alpha\xi+\beta\eta)\xrightarrow[\alpha,\beta]{}\min

\alpha+\beta=1,\quad \alpha\geq 0,\beta\geq 0

\begin{align*}&\Var(\alpha\xi+(1-\alpha)\eta)=\\&\alpha^2\times16+(1-\alpha)^2\times 9+2\alpha(1-\alpha)(-0.8\times4\times3)\xrightarrow[\alpha]{}\min\end{align*}

\alpha_0\simeq0.42,\quad \Var(0.42\xi+0.58\eta)=1.17