Skip to article frontmatterSkip to article content

Задание 1

A={♡,♢}, B={{♡},{♢}}, C={♡,♢,{♡},{♢}},D={♡,♢,{♡},{♢},{♡,♢}}A=\{\heartsuit, \diamondsuit\},\ B=\{\{\heartsuit\},\{\diamondsuit\}\},\ C=\{\heartsuit,\diamondsuit,\{\heartsuit\},\{\diamondsuit\}\}, D=\{\heartsuit,\diamondsuit,\{\heartsuit\},\{\diamondsuit\},\{\heartsuit,\diamondsuit\}\}

Найти мощности множеств.

Задание 2. (∈\in vs ⊆\subseteq)

A={♡,♢}, B={{♡},{♢}}, C={♡,♢,{♡},{♢}},D={♡,♢,{♡},{♢},{♡,♢}}A=\{\heartsuit, \diamondsuit\},\ B=\{\{\heartsuit\},\{\diamondsuit\}\},\ C=\{\heartsuit,\diamondsuit,\{\heartsuit\},\{\diamondsuit\}\}, D=\{\heartsuit,\diamondsuit,\{\heartsuit\},\{\diamondsuit\},\{\heartsuit,\diamondsuit\}\}

Верно ли, что

  1. A⊆BA\subseteq B? Нет, т. к. ♡∈A\heartsuit\in A, но ♡∉B\heartsuit\not\in B.

  2. {♡}∈A\{\heartsuit\}\in A? Нет, т. к. “мешка с червями” нет внутри этого множества.

  3. {♡}⊆A\{\heartsuit\}\subseteq A? Да, черви во множестве.

  4. ♡∈A\heartsuit\in A? Да.

  5. ♡⊆A\heartsuit\subseteq A? Нет, т. к. \heartsuit не является множеством.

  6. {♡}∈B\{\heartsuit\}\in B? Да. Мешок принадлежит множеству.

  7. {♡}⊆B\{\heartsuit\}\subseteq B? Нет. Червей нет во множестве.

  8. {♡}∈C\{\heartsuit\}\in C? Да

  9. {♡}⊆C\{\heartsuit\}\subseteq C? Да.

  10. ♡∈C\heartsuit \in C. Да.

  11. A∈CA\in C? Нет, т. к. мешок с червями и бубями не является элементом CC.

  12. A⊆CA\subseteq C? Да, т. к. каждый элемент АА является элементом CC.

  13. A∈DA\in D? Да.

  14. A⊆DA\subseteq D? Да.

  15. B∈DB\in D? Нет.

  16. B⊆DB\subseteq D? Да.

Задание 3.

  1. ∣∅∣=0|\varnothing|=0
  2. ∣{∅}∣=1|\{\varnothing\}|=1
  3. ∣{∅,∅}∣=1  ⟹  {∅,∅}={∅}|\{\varnothing,\varnothing\}|=1 \implies \{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}
  4. {∅,{∅}}=2\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=2
  5. ∣{∅,{∅},{∅,{∅}}}∣=3|\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}| = 3

Задание 4. Формулы двойственности де Моргана

Подзадание А.

Ac=Ω∖AA^c=\Omega\setminus A
A∪B⏟LHS=(Ac∩Bc)c⏟RHS\underbrace{A\cup B}_{\text{LHS}} = \underbrace{(A^c\cap B^c)^c}_{\text{RHS}}
ω∈LHS  ⟺  (ω∈A∨ω∈B)  ⟺  (ω∉Ac∨ω∉Bc)  ⟺  (ω∉Ac∩Bc)\omega\in\text{LHS}\iff (\omega\in A\lor\omega\in B)\iff(\omega\not\in A^c \lor \omega\not\in B^c)\iff(\omega\not\in A^c\cap B^c)

Подзадание B.

A∩B⏟LHS=(Ac∪Bc)c⏟RHS\underbrace{A\cap B}_{\text{LHS}} = \underbrace{(A^c\cup B^c)^c}_{\text{RHS}}
ω∈LHS  ⟺  (ω∈A∧ω∈B)  ⟺  (ω∉Ac∧ω∉Bc)  ⟺  (ω∉Ac∪Bc)\omega\in\text{LHS}\iff(\omega\in A \land\omega\in B)\iff (\omega\not\in A^c \land \omega\not\in B^c)\iff(\omega\not\in A^c\cup B^c)

Подзадание С.

⋃i∈IAi=(⋂i∈IAic)c\bigcup_{i\in I}A_i=\left(\bigcap_{i\in I}A_i^c\right)^c
⋃i∈IAi:={w∈Ω ⁣:∃i∈I,ω∈Ai}\bigcup_{i\in I}A_i:=\{w\in\Omega\colon\exists i\in I,\omega\in A_i\}
⋂i∈IAi:={w∈Ω ⁣:∀i∈I,ω∈Ai}\bigcap_{i\in I}A_i:=\{w\in\Omega\colon\forall i\in I,\omega\in A_i\}
ω∈LHS  ⟺  (∃i∈I,w∈Ai)  ⟺  (∃i∈I,w∉Aic)  ⟺  (ω∉⋂i∈IAic)  ⟺  w∈(⋂i∈IAic)c=RHS\omega\in\text{LHS}\iff(\exists i\in I, w\in A_i)\iff(\exists i \in I, w\not\in A_i^c)\iff\left(\omega\not\in\bigcap_{i\in I}A_i^c\right)\iff w\in\left(\bigcap_{i\in I}A_i^c\right)^c=\text{RHS}

Подзадание D.

⋂i∈IAi=(⋃i∈IAic)c\bigcap_{i\in I}A_i=\left(\bigcup_{i\in I}A_i^c\right)^c

Домашнее задание

Задание 5.

A△B⊆(A△C)∪(C△B)A\triangle B\subseteq (A\triangle C)\cup(C\triangle B)
A△B:=(A∖B)∪(B∖A)=(A∪B)∖(A∩B)A\triangle B :=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)
ω∈LHS  ⟹  [w∈A∖Bw∈B∖A  ⟹  [w∈A∩Bcw∈B∩Ac  ⟹  [[ω∈A∩Bc∩C‾  ⟹  ω∈RHSω∈A‾∩Bc∩Cc‾  ⟹  ω∈RHS[ω∈B∩Ac∩C‾  ⟹  ω∈RHSω∈B‾∩Ac∩Cc‾  ⟹  ω∈RHS\omega\in\text{LHS}\implies\left[\begin{gathered} w\in A\setminus B\\ w\in B\setminus A \end{gathered}\right.\implies\left[\begin{gathered} w\in A\cap B^c\\ w\in B\cap A^c \end{gathered}\right.\implies\left[\begin{gathered} \left[\begin{gathered} \omega \in A\cap \underline{B^c\cap C}\implies \omega\in\text{RHS}\\ \omega\in \underline{A} \cap B^c\cap \underline{C^c}\implies \omega\in\text{RHS} \end{gathered}\right.\\ \left[\begin{gathered} \omega \in B\cap \underline{A^c\cap C}\implies \omega\in\text{RHS}\\ \omega\in \underline{B} \cap A^c\cap \underline{C^c}\implies \omega\in\text{RHS} \end{gathered}\right. \end{gathered}\right.

Задание 6.

Подзадание А

[1,2]=⋂n=1∞(1−1n,2+1n)[1,2]=\bigcap_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right)
[1,2]⊆⋂n=1∞(1−1n,2+1n)[1,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right)
x∈⋂n=1∞(1−1n,2+1n)∀n∈N,1−1n<x<2+1n⇒n→∞x\in\bigcap_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{n}, 2+\frac{1}{n}\right)\forall n\in N, 1-\frac{1}{n}<x<2+\frac{1}{n}\xRightarrow{n\to\infty}
1=lim⁡n→∞(1−1n)≤x≤lim⁡n→∞(2+1n)=2  ⟹  x∈[1,2]1=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\leq x\leq \lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2\implies x\in[1, 2]

Подзадание В

(1,2)=⋃n=2∞[1+1n,2−1n](1, 2)=\bigcup^{\infty}_{n=2}\left[1+\frac{1}{n}, 2-\frac{1}{n}\right]

  1. ⊇{\supseteq} очевидно.

  2. ⊆\subseteq

x∈RHS  ⟹  1<x<2x\in\text{RHS}\implies 1<x<2
ε:=min⁡(x−1,2−x)>0\varepsilon:=\min(x-1, 2-x)>0
1+1n→1,2−1n→2,n→∞1+\frac{1}{n}\to 1, 2-\frac{1}{n}\to 2, n\to\infty
∃N∈B ⁣:−ε<1+1N−1<ε‾  ⟹  1+1N<1+ε≤1+(x−1)=x−ε<2−1N−2‾<ε  ⟹  2−1N>2−ε>2−ε≥2−(2−x)=x\begin{align*}\exists N\in\mathbb{B}\colon& -\varepsilon<\underline{1+\tfrac{1}{N}-1<\varepsilon}\implies 1+\tfrac{1}{N}<1+\varepsilon\leq 1+(x-1)=x\\ &-\underline{\varepsilon<2-\tfrac{1}{N}-2}<\varepsilon\implies 2-\tfrac{1}{N}>2-\varepsilon>2-\varepsilon\geq2-(2-x)=x \end{align*}
x∈[1+1N,2−1N]⊆RHSx\in[1+\tfrac{1}{N},2-\tfrac{1}{N}]\subseteq\text{RHS}

Задание 7. Почему интервал (0,1)(0, 1) не является счётным?

Пойдём от противного. Пусть (0,1)(0, 1) является счётным.

x1=0.xˉ11x12x13x14x15…x_1=0.\bar x_{11}x_{12}x_{13}x_{14}x_{15}\dots
x2=0.x21xˉ22x23x24x25…x_2=0.x_{21}\bar x_{22}x_{23}x_{24}x_{25}\dots
x3=0.x31x32xˉ33x34x35…x_3=0.x_{31}x_{32}\bar x_{33}x_{34}x_{35}\dots
x4=0.x41x42x43xˉ44x45…x_4=0.x_{41}x_{42}x_{43}\bar x_{44}x_{45}\dots
x5=0.x51x52x53x54xˉ55…x_5=0.x_{51}x_{52}x_{53}x_{54}\bar x_{55}\dots
xˉ=0.xˉ11xˉ22xˉ33xˉ44xˉ55…\bar x=0.\bar x_{11}\bar x_{22}\bar x_{33}\bar x_{44}\bar x_{55}\dots
0.49999…=0.50000…0.49999\ldots=0.50000\dots
410+9100+91000+⋯=12\frac{4}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots=\frac{1}{2}
Времена
Лекция 10, 25.11.2024
Времена
Семинар 2, 13.09.2024