Лекция 7, 14.10.2014

Смешанное дискретно-непрерывное распределение¶

(\Omega,\FF,\PP)\xrightarrow{\xi \text{ порождает}}(\RR,\BB(\RR),F_\xi)

Дискретный	Абсолютно непрерывный
$(\Omega,\PP)$	$(\Omega,\FF,\PP)$
$p(\omega)$	$\PP(A)$ , где $A\in\FF$
Случайная величина $\xi$ — $\forall$ функция	Случайная величина $\xi$ — измеримая функция (прообраз $\forall B\in\BB$ является элементом $\FF$ )
$E(\xi)=\displaystyle\sum_kx_k\PP(\xi=x_k)$	$E(\xi)=\displaystyle\int\limits^\infty_{-\infty} f_\xi(x)\d x$ , если $\displaystyle\int\limits^\infty_{-\infty}\|x\|f_\xi(x)\d x<\infty$

Интеграл Лебега-Стилтьеса обобщается на случай меры:

E(\xi)=\int\limits_\Omega\xi(\omega)\d\PP(\omega)

Для $\forall$ борелевской функции $g(x)$ :

$\EE(g(\xi))=\left[\begin{align*} &\sum_kg(xk)\PP(\xi=x_k), &\quad \text{если } \xi \text{ — дискретная}\\ &\int\limits^\infty_{-\infty}g(x)f_x(x)\d x, &\quad \text{если } \xi \text{ абсолютно непрерывна} \end{align*}\right.$

\boxed{\eta=g(\xi),\quad\int\limits^\infty_{-\infty}yf_\eta(y)\d y=\int\limits^\infty_{-\infty}g(x)f_\xi(x)\d x}

$\Var(\xi)=\EE\xi^2-(\EE\xi)^2$
$\Var(\xi)=\EE(\xi^2-2\xi\EE\xi+(\EE\xi)^2)=E\xi^2-2\EE\xi\cdot\EE\xi+(\EE\xi)^2=\EE\xi^2-(\EE\xi)^2$

\EE\xi^2=\left[\begin{align*}&\sum_kx_k^2\PP(\xi=x_k)\\ &\int\limits^\infty_{-\infty}x^2f_\xi(x)\d x \end{align*}\right.

f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in[a, b]\\ 0, & x\not\in[a, b] \end{cases}

\EE\xi=\frac{a+b}{2}

\Var\xi=\frac{(b-a)^2}{12}

f_\xi(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\leq 0 \end{cases}

\EE\xi=\frac{1}{2}

\Var\xi=\frac{1}{\lambda^2}

F_\xi(x)=1-e^{-\lambda x},\quad x>0

\PP(a+\tau<\xi<b | \xi<\tau)=\PP(a<\xi<b)=\frac{\PP(a+\tau<\xi<b+\tau)}{\PP(\xi>\tau)}=\PP(a<\xi<b)