Лекция 8, 11.11.2024

Многомерное распределение¶

$\xi_1,\ldots,\xi_n$ определено на $(\Omega,\FF,\PP)$

Proposition 1 (Свойства многомерной функции распределения)

$0\leq F_\xi(x)\leq 1,\quad x=(x_1,\ldots,x_n)$
$F_\xi(x_1,x_2)\xrightarrow[x_1\to-\infty]{}0,\forall x_2\in\RR,\xi=(\xi_1,\xi_2)'$
$F_\xi(x_1,x_2)\xrightarrow[\overset{\scriptstyle x_1\to+\infty}{x_2\to+\infty}]{}1$
$F_\xi(x_1,x_2)$ не убывает по каждому из аргументов
$F_\xi(x_1,x_2)$ непрерывна справа по каждому из аргументов

$\xi_2 \setminus \xi_1$	-1	0	1	$\PP_{\xi_2}$
-2	0.1	0.1	0.1	0.3
0	0.1	0.1	0.1	0.3
2	0.1	0.1	0.2	0.4
$\PP_{\xi_1}$	0.3	0.3	0.4	$\boxed{1}$

\PP(\xi_1=a|\xi_2=-2)=\ ?

$\xi_1 \| \xi_2=-2$	-1	0	1
$\PP_{\xi_1\| \xi_2=-2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

Proposition 2 (Свойства

f_\xi(x_1,x_2)

)

$f_\xi(x_1,x_2)\geq 0,\forall x_1,x_2\in\RR$
$\iint\limits_{\RR^2} f_\xi(x_1,x_2)\d x_1\d x_2=1$
$f_{\xi_1}(x_1)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}f_\xi(x_1,x_2)\d x_2$
$\PP(\xi\leq x_1\cap \{\xi_2\in\RR\})=F_{\xi_1}(x_1)=\int\limits^{x_1}_{-\infty}\left[\int\limits^{+\infty}_{-\infty}f_\xi(t_1,x_2)\d x_2\right]\d t_1$