Задача 8 ¶ n = 1000 n = 1000 n = 1000
p = 0.05 p=0.05 p = 0.05
k ∗ = ? k^*=? k ∗ = ?
n n n k k k
Всего n k \frac{n}{k} k n
Введём ξ i \xi_i ξ i i i i
ξ i = { 1 , если в i-й группе все здоровы k + 1 , если в i-й группе есть хотя бы 1 больной \xi_i=\begin{cases}
1, & \text{если в i-й группе все здоровы} \\
k + 1, & \text{если в i-й группе есть хотя бы 1 больной}
\end{cases} ξ i = { 1 , k + 1 , если в i- й группе все здоровы если в i- й группе есть хотя бы 1 больной x x x 1 k + 1 k+1 k + 1 P ( { ξ i = x } ) \PP(\{\xi_i=x\}) P ({ ξ i = x }) ( 1 − p ) k (1-p)^k ( 1 − p ) k 1 − ( 1 − p ) k 1-(1-p)^k 1 − ( 1 − p ) k
E [ ξ 1 ] = 1 ( 1 − p ) k + ( k + 1 ) [ 1 − ( 1 − p ) k ] = k + 1 − k ( 1 − p ) k \EE[\xi_1]=1(1-p)^k+(k+1)[1-(1-p)^k]=k+1-k(1-p)^k E [ ξ 1 ] = 1 ( 1 − p ) k + ( k + 1 ) [ 1 − ( 1 − p ) k ] = k + 1 − k ( 1 − p ) k ξ : = ξ 1 + … + ξ n k \xi:=\xi_1+\ldots+\xi_\frac{n}{k} ξ := ξ 1 + … + ξ k n E [ ξ ] = E [ ξ 1 ] + … + E [ ξ n k ] = n k E [ ξ 1 ] = n k [ k + 1 − k ( 1 − p ) k ] = n [ 1 + 1 k − ( 1 − p ) k ] ⏟ = E ( k ) \begin{align*}\EE[\xi]&=\EE[\xi_1]+\ldots+\EE[\xi_{\frac{n}{k}}]=\tfrac{n}{k}\EE[\xi_1]\\&=\tfrac{n}{k}[k+1-k(1-p)^k]=\underbrace{n[1+\tfrac{1}{k}-(1-p)^k]}_{=\EE(k)}\end{align*} E [ ξ ] = E [ ξ 1 ] + … + E [ ξ k n ] = k n E [ ξ 1 ] = k n [ k + 1 − k ( 1 − p ) k ] = = E ( k ) n [ 1 + k 1 − ( 1 − p ) k ] Оптимально группировать людей в группы по 5 человек.
Задача 6 ¶ Мошенник звонит, пытаясь узнать секретный код. Половина абонентов не отвечает на звонки с незнакомых номеров. Есть вероятность p p p
θ \theta θ
θ = 0 × 0.5 + p × 0.5 = p 2 \theta=0\times0.5+p\times0.5=\frac{p}{2} θ = 0 × 0.5 + p × 0.5 = 2 p p p p
Подзадача А ¶ Найдите вероятность того, что мошеннику повезёт на 20-м звонке. ξ \xi ξ
ξ ∼ G ( θ = p 2 ) ⇔ d e f P ( { ξ = k } ) = ( 1 − θ ) k − 1 θ , k = 1 , 2 , 3 , … \xi\sim G(\theta=\tfrac{p}{2})\xLeftrightarrow{def}\PP(\{\xi=k\})=(1-\theta)^{k-1}\theta,\quad k=1,2,3,\ldots ξ ∼ G ( θ = 2 p ) d e f P ({ ξ = k }) = ( 1 − θ ) k − 1 θ , k = 1 , 2 , 3 , … Найти P ( { ξ = 20 } ) \PP(\{\xi=20\}) P ({ ξ = 20 })
P ( { ξ = 20 } ) = ( 1 − θ ) 19 θ = ( 1 − p 2 ) 19 ( p 2 ) \PP(\{\xi=20\})=(1-\theta)^{19}\theta=(1-\tfrac{p}{2})^{19}(\tfrac{p}{2}) P ({ ξ = 20 }) = ( 1 − θ ) 19 θ = ( 1 − 2 p ) 19 ( 2 p ) Подзадача B ¶ Найдите p p p
λ ( p ) = 19 ln ( 1 − p 2 ) + ln ( p 2 ) \lambda(p)=19\ln(1-\tfrac{p}{2})+\ln(\tfrac{p}{2}) λ ( p ) = 19 ln ( 1 − 2 p ) + ln ( 2 p ) d d p λ ( p ) = − 1 2 19 1 − p 2 + 1 2 1 p 2 = − 19 2 − p + 1 p = − 19 + 2 − p p ( 2 − p ) = 2 − 20 p p ( 2 − p ) = 0 ⟹ p ∗ = 1 10 \begin{align*}\frac{\d}{\d p}\lambda(p)&=-\frac{1}{2}\frac{19}{1-\frac{p}{2}}+\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{p}{2}}=-\frac{19}{2-p}+\frac{1}{p}\\&=\frac{-19+2-p}{p(2-p)}=\frac{2-20p}{p(2-p)}=0\implies p^*=\frac{1}{10}\end{align*} d p d λ ( p ) = − 2 1 1 − 2 p 19 + 2 1 2 p 1 = − 2 − p 19 + p 1 = p ( 2 − p ) − 19 + 2 − p = p ( 2 − p ) 2 − 20 p = 0 ⟹ p ∗ = 10 1 Подзадача С ¶ Найдите вероятность того, что 100 звонков не хватит, чтобы получить код.
P ( { ξ ≥ 101 } ) = ∑ k = 101 ∞ ( 1 − θ ) k − 1 θ = ( 1 − θ ) 100 + ( 1 − θ ) 101 θ + ( 1 − θ ) 102 θ + … = ( 1 − θ ) 100 θ ⋅ ( 1 + ( 1 − θ ) + ( 1 − θ ) 2 + … ) = ( 1 − θ ) 100 θ ⋅ 1 1 − ( 1 − θ ) = ( 1 − θ ) 100 = ( 1 − p 2 ) 100 \begin{align*}\PP(\{\xi\geq 101\})&=\sum^\infty_{k=101}(1-\theta)^{k-1}\theta\\&=(1-\theta)^{100}+(1-\theta)^{101}\theta+(1-\theta)^{102}\theta+\ldots\\&=(1-\theta)^{100}\theta\cdot(1+(1-\theta)+(1-\theta)^2+\ldots)\\&=(1-\theta)^{100}\cancel{\theta}\cdot\cancel{\frac{1}{1-(1-\theta)}}=(1-\theta)^{100}=(1-\tfrac{p}{2})^{100}\end{align*} P ({ ξ ≥ 101 }) = k = 101 ∑ ∞ ( 1 − θ ) k − 1 θ = ( 1 − θ ) 100 + ( 1 − θ ) 101 θ + ( 1 − θ ) 102 θ + … = ( 1 − θ ) 100 θ ⋅ ( 1 + ( 1 − θ ) + ( 1 − θ ) 2 + … ) = ( 1 − θ ) 100 θ ⋅ 1 − ( 1 − θ ) 1 = ( 1 − θ ) 100 = ( 1 − 2 p ) 100 Подзадача D ¶ Найдите вероятность того, что удача ждёт мошенника на чётном по счёту звонке.
P ( { ξ ∈ { 2 , 4 , 6 , … } } ) = ( 1 − θ ) θ + ( 1 − θ ) 3 θ + ( 1 − θ ) 5 θ + … = ( 1 − θ ) θ [ 1 + ( 1 − θ ) 2 + ( 1 − θ ) 4 + … ] = ( 1 − θ ) θ 1 1 − ( 1 − θ ) 2 = 1 − θ 2 − θ = 2 − p 4 − p \begin{align*}\PP(\{\xi\in\{2,4,6,\ldots\}\})&=(1-\theta)\theta+(1-\theta)^3\theta+(1-\theta)^5\theta+\ldots\\&=(1-\theta)\theta[1+(1-\theta)^2+(1-\theta)^4+\ldots]\\&=(1-\theta)\theta\frac{1}{1-(1-\theta)^2}\\&=\frac{1-\theta}{2-\theta}=\frac{2-p}{4-p}\end{align*} P ({ ξ ∈ { 2 , 4 , 6 , … }}) = ( 1 − θ ) θ + ( 1 − θ ) 3 θ + ( 1 − θ ) 5 θ + … = ( 1 − θ ) θ [ 1 + ( 1 − θ ) 2 + ( 1 − θ ) 4 + … ] = ( 1 − θ ) θ 1 − ( 1 − θ ) 2 1 = 2 − θ 1 − θ = 4 − p 2 − p Задача 7 ¶ P ( { ξ = 1 } ) + … + P ( { ξ = 10 } ) = 1 \PP(\{\xi=1\})+\ldots+\PP(\{\xi=10\})=1 P ({ ξ = 1 }) + … + P ({ ξ = 10 }) = 1 P ( { ξ ≥ 1 } ) + … + P ( { ξ ≥ 10 } ) = 5 \PP(\{\xi\geq 1\})+\ldots+\PP(\{\xi\geq 10\})=5 P ({ ξ ≥ 1 }) + … + P ({ ξ ≥ 10 }) = 5 Найти E [ ξ ] \EE[\xi] E [ ξ ]
P ( { ξ ≥ 1 } ) + ∣ = P ( { ξ = 1 } ) + P ( { ξ = 2 } ) + P ( { ξ = 3 } ) + … + P ( { ξ = 10 } ) P ( { ξ ≥ 2 } ) + ∣ + P ( { ξ = 2 } ) + P ( { ξ = 3 } ) + … + P ( { ξ = 10 } ) P ( { ξ ≥ 3 } ) + ∣ + P ( { ξ = 3 } ) + … + P ( { ξ = 10 } ) ⋮ ∣ ⋮ P ( { ξ ≥ 10 } ) ∣ + P ( { ξ = 10 } ) = = 1 ⋅ P ( { ξ = 1 } ) + 2 ⋅ P ( { ξ = 2 } ) + 3 ⋅ P ( { ξ } ) + … + 10 ⋅ P ( { ξ = 10 } ) = E [ ξ ] = 5 \begin{matrix}
\PP(\{\xi\geq 1\})\ + & \bigm| & =\PP(\{\xi=1\})&+&\PP(\{\xi=2\})&+&\PP(\{\xi=3\})&+&\ldots&+&\PP(\{\xi=10\})\\
\PP(\{\xi\geq 2\})\ + & \bigm| & &+&\PP(\{\xi=2\})&+&\PP(\{\xi=3\})&+&\ldots&+&\PP(\{\xi=10\})\\
\PP(\{\xi\geq 3\})\ + & \bigm| & && &+&\PP(\{\xi=3\})&+&\ldots&+&\PP(\{\xi=10\})\\
\vdots & \biggm| & & & &&&&& & \vdots\\
\PP(\{\xi\geq 10\}) & \bigm| & &&&& & & &+&\PP(\{\xi=10\}) &=\\
\end{matrix}\\
=1\cdot\PP(\{\xi=1\})+2\cdot\PP(\{\xi=2\})+3\cdot\PP(\{\xi\})+\ldots+10\cdot\PP(\{\xi=10\})=\EE[\xi]=5 P ({ ξ ≥ 1 }) + P ({ ξ ≥ 2 }) + P ({ ξ ≥ 3 }) + ⋮ P ({ ξ ≥ 10 }) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = P ({ ξ = 1 }) + + P ({ ξ = 2 }) P ({ ξ = 2 }) + + + P ({ ξ = 3 }) P ({ ξ = 3 }) P ({ ξ = 3 }) + + + … … … + + + + P ({ ξ = 10 }) P ({ ξ = 10 }) P ({ ξ = 10 }) ⋮ P ({ ξ = 10 }) = = 1 ⋅ P ({ ξ = 1 }) + 2 ⋅ P ({ ξ = 2 }) + 3 ⋅ P ({ ξ }) + … + 10 ⋅ P ({ ξ = 10 }) = E [ ξ ] = 5 Задача 8 ¶ ξ ∼ G ( p ) \xi\sim G(p) ξ ∼ G ( p )
Подзадача A ¶ E [ ξ ] = ∑ k = 1 ∞ k P ( { ξ = k } ) = ∑ k = 1 ∞ k q k − 1 p = p ∑ k = 1 ∞ k q k − 1 = p ∑ k = 1 ∞ d d q ( q k ) = p ∑ k = 0 ∞ d d q ( q k ) = p d d q ( ∑ k = 0 ∞ q k ) = p d d q ( 1 1 − q ) = p ( 1 − q ) 2 = p ⋅ 1 p 2 = 1 p \begin{align*}\EE[\xi]&=\sum^\infty_{k=1}k\PP(\{\xi=k\})=\sum^\infty_{k=1}kq^{k-1}p=p\sum^\infty_{k=1}kq^{k-1}\\&=p\sum^\infty_{k=1}\frac{\d}{\d q}(q^k)=p\sum^\infty_{k=0}\frac{\d}{\d q}(q^k)=p\frac{\d}{\d q}\left(\sum^\infty_{k=0}q^k\right)\\&=p\frac{\d}{\d q}\left(\frac{1}{1-q}\right)=\frac{p}{(1-q)^2}=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}\end{align*} E [ ξ ] = k = 1 ∑ ∞ k P ({ ξ = k }) = k = 1 ∑ ∞ k q k − 1 p = p k = 1 ∑ ∞ k q k − 1 = p k = 1 ∑ ∞ d q d ( q k ) = p k = 0 ∑ ∞ d q d ( q k ) = p d q d ( k = 0 ∑ ∞ q k ) = p d q d ( 1 − q 1 ) = ( 1 − q ) 2 p = p ⋅ p 2 1 = p 1 Подзадача B ¶ E [ ξ ( ξ − 1 ) ] = ∑ k = 1 ∞ k ( k − 1 ) ⋅ P ( { ξ = k } ) = ∑ k = 1 ∞ k ( k − 1 ) ⋅ q k − 1 p = q p ∑ k = 1 ∞ k ( k − 1 ) q k − 2 = q p ∑ k = 1 ∞ d 2 d q 2 ( q k ) = q p ∑ k = 0 ∞ d 2 d q 2 ( q k ) = q p d 2 d q 2 ( ∑ k = 0 ∞ q k ) = q p d 2 d q 2 ( 1 1 − q ) = q p d d q ( 1 ( 1 − q ) 2 ) = q p 2 ( 1 − q ) 3 = q p 2 p 3 = 2 q p 2 \begin{align*}\EE[\xi(\xi-1)]&=\sum^\infty_{k=1}k(k-1)\cdot\PP(\{\xi=k\})=\sum^\infty_{k=1}k(k-1)\cdot q^{k-1}p\\&=qp\sum^\infty_{k=1}k(k-1)q^{k-2}=qp\sum^\infty_{k=1}\frac{\d^2}{\d q^2}(q^k)=qp\sum^\infty_{k=0}\frac{\d^2}{\d q^2}(q^k)\\&=qp\frac{\d^2}{\d q^2}\left(\sum^\infty_{k=0}q^k\right)=qp\frac{\d^2}{\d q^2}\left(\frac{1}{1-q}\right)=qp\frac{\d}{\d q}\left(\frac{1}{(1-q)^2}\right)\\&=qp\frac{2}{(1-q)^3}=qp\frac{2}{p^3}=\frac{2q}{p^2}\end{align*} E [ ξ ( ξ − 1 )] = k = 1 ∑ ∞ k ( k − 1 ) ⋅ P ({ ξ = k }) = k = 1 ∑ ∞ k ( k − 1 ) ⋅ q k − 1 p = qp k = 1 ∑ ∞ k ( k − 1 ) q k − 2 = qp k = 1 ∑ ∞ d q 2 d 2 ( q k ) = qp k = 0 ∑ ∞ d q 2 d 2 ( q k ) = qp d q 2 d 2 ( k = 0 ∑ ∞ q k ) = qp d q 2 d 2 ( 1 − q 1 ) = qp d q d ( ( 1 − q ) 2 1 ) = qp ( 1 − q ) 3 2 = qp p 3 2 = p 2 2 q Подзадача С ¶ E [ ξ 2 ] = E [ ξ ( ξ − 1 ) ] + E [ ξ ] = 2 q p 2 + 1 p = 2 q + p p 2 = 1 + q p 2 \begin{align*}\EE[\xi^2]=\EE[\xi(\xi - 1)]+\EE[\xi]=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}=\frac{2q+p}{p^2}=\frac{1+q}{p^2}\end{align*} E [ ξ 2 ] = E [ ξ ( ξ − 1 )] + E [ ξ ] = p 2 2 q + p 1 = p 2 2 q + p = p 2 1 + q Подзадача D ¶ D ( ξ ) = E [ ξ 2 ] − [ E [ ξ ] ] 2 = 1 + q p 2 − 1 p 2 = q p 2 \begin{align*}
D(\xi)=\EE[\xi^2]-[\EE[\xi]]^2=\frac{1+q}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}
\end{align*} D ( ξ ) = E [ ξ 2 ] − [ E [ ξ ] ] 2 = p 2 1 + q − p 2 1 = p 2 q