Семинар 5, 04.10.2024

Definition 1

Пусть задано измеримое пространство $(\Omega,\FF)$ .

Функция $\xi\colon\Omega\mapsto\RR$ , $\xi=\xi(x),\omega\in\Omega$ , называется измеримой относительно $\sigma$ -алгебры $\FF$ функцией, если

\forall c\in\RR, \quad \{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}\in\FF

Это условие называют условием измеримости.

Функцию, измеримую относительно $\sigma$ -алгебры $\FF$ также называют $\FF$ -измеримой функцией, согласованной с $\sigma$ -алгеброй $\FF$ .

В теории вероятностей $\FF$ -измеримые функции называются случайными величинами (или $\FF$ -измеримыми случайными величинами)

Задача 1¶

\Omega=\{\underset{+}\heartsuit,\diamondsuit,\spadesuit,\clubsuit\}

\FF=\{\underset{-}\emptyset, \{\underset{+}\heartsuit,\diamondsuit\}, \{\underset{-}\spadesuit\}, \{\underset{-}\clubsuit\}, \{\underset{+}\heartsuit,\diamondsuit,\spadesuit\}, \{\underset{+}\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit\},\{\underset{-}\clubsuit,\spadesuit\},\underset{+}\Omega\}

\xi\colon\Omega\mapsto\RR,\quad\eta\colon\Omega\mapsto\RR

$\omega$	$\heartsuit$	$\diamondsuit$	$\spadesuit$	$\clubsuit$
$\xi(\omega)$	1	1	2	3
$\eta(\omega)$	3	2	1	1

Является ли $\xi$ $\FF$ -измеримой?

$c>3\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\emptyset\in\FF$
$c=3\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>3\}=\emptyset\in\FF$
$2<c<3\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\{\clubsuit\}\in\FF$
$c=2\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>2\}=\{\clubsuit\}\in\FF$
$1<c<2\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\{\spadesuit,\clubsuit\}\in\FF$
$c=1\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>1\}=\{\spadesuit,\clubsuit\}\in\FF$
$c<1\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\Omega\in\FF$

$\implies$ $\xi$ — $\FF$ -измеримая.

Является ли $\eta$ $\FF$ -измеримой?

$\implies$ $\eta$ не $\FF$ -измеримая.

\Omega=\RR,\FF=\BB(\RR),\xi(\omega)=\omega^2

$\xi$ — $\FF$ -измерима?

$c<0\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\{\omega\in\RR\colon\omega^2>c\}=\RR\in\BB(\RR)=\FF$
$\begin{align*}c\geq0\colon&\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\{\omega\in\RR\colon\omega^2>c^2\}\\=\ &\{\omega\in\RR\colon\omega<-\sqrt{c}\}\cup\{\omega\in\RR\colon\omega>\sqrt{c}\}\\ =\ &(-\infty,-\sqrt{c})\cup(\sqrt{c},+\infty)=\underbrace{\RR}_{\in\BB(\RR)}\setminus\underbrace{[-\sqrt{c},\sqrt{c}]}_{\in\BB(\RR)}\in\BB(\RR)=\FF\end{align*}$

$(\Omega,\FF)$ — измеримое пространство, $\xi\colon\Omega\mapsto\RR$ — $\FF$ -измеримая функция.

$\forall c\in\RR$

\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\leq c\}=\bigcap^\infty_{n=1}\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c-\frac{1}{n}\}\in\FF}_{\in\FF}

(\LHS\subseteq\RHS)\quad\omega_0\in\LHS\implies\xi(\omega_0)\geq c\implies\forall b\in\NN,\xi(\omega_0)>c-\frac{1}{n}\implies \omega_0\in\RHS

(\RHS\subseteq\LHS)\quad\omega_0\in\RHS\implies\forall n\in\NN\xi(\omega_0)>c-\frac{1}{n}\xRightarrow[n\to\infty]{}\xi(\omega_0)\geq\lim_{n\to\infty}(c-\frac{1}{n})=c\implies\omega_0\in\LHS

\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)=c\}=\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\geq c\}}_{\in\FF}\setminus\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}}_{\in\FF}\in\FF

\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\leq c\}=\underbrace{\Omega}_{\in\FF}\setminus\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}}_{\in\FF}\in\FF

\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)<c\}=\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\leq c\}}_{\in\FF}\setminus\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)=c\}}_{\in\FF}

$(\Omega,\FF)$ — измеримое пространство, $\xi\colon\Omega\mapsto\RR$ — $\FF$ -измеримая функция

Докажите, что $\xi^2(\omega)$ — $\FF$ -измеримая

$c<0\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi^2(\omega)>c\}=\Omega\in\FF$
$c\geq 0\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi^2(\omega)>c\}=\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)<-\sqrt{c}\}}_{\in\FF}\cup\underbrace{\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>\sqrt{c}\}}_{\in\FF}\in\FF$