Семинар 3, 20.09.2024

Листок 2, Задача 10¶

$\Omega\neq\varnothing$, $\mathcal{S}$ — непустая система подмножеств в множестве $\Omega$.

Покажите, что $\exists\sigma(\mathcal(S))$

Рассмотрим совокупность всех $\sigma$-алгебр, которые содержат систему $\mathcal{S}$, $\{\mathcal{F}_j\}_{j\in J}$ $(\forall j \in J, \mathcal{S}\in\mathcal{F}_j)$

Отметим, что эта совокупность не пустая. $2^\Omega$ — $\sigma$-алгебра, $\mathcal{S}\subseteq 2^\Omega\implies 2^\Omega\in\{\mathcal{F}_j\}\neq\varnothing$.

Положим

По задаче 9, $\hat{\mathcal{F}}$ является $\sigma$-алгеброй. $\mathcal{S}\subseteq\bigcap_{j\in J}\mathcal{F}_j=\hat{\mathcal{F}}$

Пусть $\mathcal{G}$ — это некоторая $\sigma$-алгебра с единицей $\Omega$, содержащая систему $\mathcal{S}$.

Повторим определение борелевской алгебры.

Листок 2, Задача 11¶

Доказать, что следующие подмножества являются борелевскими.

1. $\{b\}=\bigcap^\infty_{n=1}\underbrace{(b-\frac{1}{b}, b]}_{\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \text{ по опр.}}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$
2. $(a, b)=\underbrace{(a, b]}_{\underset{\text{по опр.}}{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}\setminus\underbrace{\{b\}}_{\underset{\text{по 1.}}{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$
3. $[a, b)=\underbrace{\{a\}}_{\underset{\text{по 1.}}{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}\cup\underbrace{(a, b)}_{\underset{\text{по 2.}}{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$
4. $[a, b]=\underbrace{\{a\}}_{\underset{\text{по 1.}}{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}\cup\underbrace{(a, b]}_{\underset{\text{по опр.}}{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

5. $Q=\bigcup^\infty_{k=1}\underbrace{\{r_k\}}_{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

6. $\underbrace{\mathbb{R}}_{=\Omega}\setminus \underbrace{Q}_{\in\mathcal{B}(\mathbb{R})} \in Q^c\in B(R)$

$A, B, C$ — не пересекаются $\iff A\cap B\cap C=\varnothing$

$A, B, C$ — попарно не пересекаются $\iff \begin{cases} A\cap B=\varnothing\\ B\cap C=\varnothing\\ A\cap C=\varnothing \end{cases}$

Задача 1¶

Доказать, что

Если $x>0$, то $\LHS$ это конечное число, а $\RHS=+\infty$. Остаётся только $x=0$.

Задача 2¶

Доказать, что для попарно непересекающихся множеств в $A_1,\dots,A_n\in\mathcal{F}$ верно $\PP(A_1\sqcup\dots\sqcup A_n)=\PP(A_1)+\dots+\PP(A_n)$

Задача 3¶

Доказать, что для любых множеств $A_1,A_2\in\mathcal{F}$ таких, что $A_1\subseteq A_2$, справедливо $\PP(A_2\setminus A_1=\PP(A_2)-\PP(A_1))$

Задача 4¶

Докажите, что для любых множеств $A_1, A_2\in\FF$ таких, что $A_1\subseteq A_2$ справедливо $\PP(A_n)\subseteq\PP(A_2)$.

Вытекает из предыдущей задачи.

Задача 5¶

Докажите, что $\forall A\in\FF,\PP(A^c)=1-\PP(A)$.

Задача 6¶

Задача 7¶

$\forall A_1, \dots A_2\in\mathcal{F}$

Задача 8¶

$\forall A_1, \dots A_2\in\mathcal{F}$

Задача 9¶