Лекция 5, 30.09.2024

Аксиоматика Колмогорова¶

Example 1

$\Omega = \{a,b,c,d\}$

Является ли $\FF=\{\emptyset,\Omega\}$ $\sigma$ -алгеброй?

( $\sigma$ 0) $\emptyset\subseteq\Omega,\ \Omega\subseteq\Omega\ \checkmark$
( $\sigma$ 1) $\Omega\in\FF\ \checkmark$
( $\sigma$ 2) $\emptyset^c=\Omega\in\FF,\Omega^c=\emptyset\in\FF\ \checkmark$
( $\sigma$ 3) Пусть $A_1,\dots,A_{n-1}\in\FF$

\bigcup^\infty_{i=1}A_i=\left[\begin{align*} \emptyset\in\FF, & \text{ если все } A_i=\emptyset\\ \Omega\in\FF, & \text{ если хотя бы одно из } A_i=\Omega \end{align*}\right.

Example 2

$\Omega=\{a, b, c, d\}$

$\FF=2^\Omega$ — все подмножества множества $\Omega$ .

\begin{align*}\FF=\{&\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\},\\& \{b, d\}, \{c, d\}, \{a, b, c\},\{a, b, d\}, \{a, c, d\},\{b, c, d\},\Omega\}\end{align*}

Является ли $\FF$ — $\sigma$ -алгеброй?

( $\sigma$ 0) любой элемент из $\FF$ является подмножеством $\Omega$
( $\sigma$ 1) $\Omega\in\FF\ \checkmark$
( $\sigma$ 2) $\checkmark$
( $\sigma$ 3) $\bigcup^\infty_{i=1}\underset{\in\FF}{A_i}\subseteq\Omega\implies\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i\in\FF$

Proposition 1

Пусть $\FF$ — это $\sigma$ -алгебра

Тогда если $B, C\in\FF$ , то

$B\cup C\in\FF$

$B\cap C\in\FF$

$B\setminus C\in\FF$

Барелевские $\sigma$ -алгебры¶

Definition 2

Пусть $\Omega=\RR$ . Определим $\sigma$ -алгебру $\BB(\RR)$ подмножеств множества $\Omega=\RR$ как минимальную $\sigma$ -алгебру, содержащую все полуинтервалы вида $(a, b]\subseteq\RR$ , где $-\infty<a<b<+\infty$ , т. е.

\BB(\RR):=\bigcup\FF

где пересечение берётся по всем $\sigma$ -алгебрам $\FF$ , которые содержат все полуинтервалы вида $(a, b]$ .

$\sigma$ -алгебра $\BB(\RR)$ называется барелевской $\sigma$ -алгеброй подмножеств в $\RR$ .

Элементы барелевской $\sigma$ -алгебры называются барелевскими множествами.

Example 4

Докажите, что следующие подмножества числовой прямой являются барелевскими:

$\displaystyle\{b\}=\bigcap^\infty_{i=1}\underbrace{(b-\tfrac{1}{n},b]}_{\in\BB(\RR)}\in\BB(\RR)$
$(a,b)=\underbrace{(a, b]}_{\in\BB(\RR)}\setminus\underbrace{\{b\}}_{\in\BB(\RR)}\in\BB(\RR)$
$[a, b)=\underbrace{\{a\}}_{\in\BB(\RR)}\cup\underbrace{(a, b)}_{\in\BB(\RR)}\in\BB(\RR)$
$[a, b]=\underbrace{\{a\}}_{\in\BB(\RR)}\cup\underbrace{(a,b]}_{\in\BB(\RR)}\in\BB(\RR)$
$\displaystyle\QQ=\bigcup^\infty_{i=1}\underbrace{\{r_k\}}_{\in\BB(\RR)}\in\BB(\RR)$
$\RR\setminus\QQ=\QQ^c\in\BB(\RR)$

Example 5

$\Omega=\{a, b, c, d\}$ , $\FF=\{\emptyset,\Omega,\{a, b\},\{c, d\}\}$

$\xi\colon\Omega\mapsto\RR,\quad\eta\colon\Omega\mapsto\RR$

$\omega$	a	b	c	d
$\xi(\omega)$	-1	-1	1	1
$\eta(\omega)$	1	2	3	4

$\xi$ — $\FF$ -измерима

c=10^6\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\emptyset\in\FF

1<c\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>c\}=\emptyset\in\FF

c=1\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>1\}=\emptyset\in\FF

-1<c<1\colon\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)>\underset{0.77}c\}=\{c, d\}\in\FF

c=-1\colon\{w\in\Omega\colon\xi(\omega)>-1\}=\{c, d\}\in\FF

c<-1\colon\{w\in\Omega\colon\xi(\omega)>\underset{-2.37}c\}=\Omega\in\FF

$\implies \xi$ является $\FF$ -измеримой

$\eta$ — не является $\FF$ -измеримой, что доказывается следующим:

c=3.5\colon\{\omega\in\Omega\colon\eta(\omega)>3.5\}=\{d\}\not\in\FF

Theorem 1

Пусть $\xi\colon\Omega\mapsto\RR$ — $\FF$ -измеримая величина.

Тогда $\forall a, b, c\in\RR$

$\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\leq c\}\in\FF$

$\begin{align*}\{\omega\in\Omega\colon\xi(\omega)\leq c\}=\bigcup^\infty_{n=1}\{w\in\Omega\colon&\xi(\omega)>c-\tfrac{1}{n}\\&\xi(\omega)=c-\tfrac{1}{n}\\&\xi(\omega)\leq c\}\end{align*}$

Лекция 5, 30.09.2024

Аксиоматика Колмогорова¶

Барелевские σ\sigmaσ-алгебры¶

Барелевские $\sigma$ -алгебры¶