Лекция 3, 16.09.2024

Example 1

Хотим анонимизировать опрос и понизить страх у людей быть раскрытыми, если они отвечают правду. Количества шаров даны ниже:

$N=N_r+N_b+N_w$

Ищем вероятность $P$ того, употреблял ли человек наркотики.

P(1)=P(1|w)P(w)+P(1|b)P(b)+P(1|r)P(r)

P=\frac{P(1)N-N_b}{N_r}

N=100,\ N_w=20,\ N_b=40, \ N_r=40

P(1)=0.6\implies P=\frac{1}{2}

Схема Бернулли¶

Предполагается, что мы проводим $n$ независимых опытов, каждый из которых может закончиться либо успехом (1), либо неудачей (0).

P(\text{успех})=p,\ P(\text{неудача})=1-p=q

$\underbrace{(\text{у, н, ..., н})}_{n} \implies 2^n$ исходов.

$P((\underbrace{1,\dots,1}_k,\underbrace{0,\dots,0}_{n-k}))=P^k(1-p)^{n-k}$ таких исходов с $k$ успехами $n \choose k$

\boxed{P(\text{k успехов в n испытаний})={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}

$p$ — вероятность верного решения присяжного. Обвиняем виновным и не обвиняем невиновных.

$A$ — улик достаточно для обвинения.

P(\text{обвинения})=P(\text{обвинения}|A)\underbrace{P(A)}_{\text{неизвестно}}+P(\text{обвинения}|\bar A)P(\bar A)

P(\text{обв. 7})=P(\text{обв. 7}| A)P(A)+P(\text{обв. 7}|\bar A)P(\bar A)

P(\text{обв. 7})={12 \choose 7}p^7(1-p)^5P(A)+{12 \choose 5}(1-p)^7p^5(1-P(A))

P(\text{обв. 7})=\left(\sum^{12}_{k=7}{12 \choose k}p^k(1-p)^{12-k}\right)P(A)+\left(\sum^{12}_{k=7}{12 \choose 12-k}(1-p)^kp^{12-k}\right)(1-P(A))

P\simeq \frac{2}{3}

Proof 1

$\lambda n=np_n$ . $\mu_n$ — число успехов.

\begin{align*}P(\mu_n=m)&=\frac{n!}{m!(n-m)!}P^m_n(1-p_n)^{n-m}\\&=\frac{n\cdot\ldots\cdot(n-m+1)}{m!}\left(\frac{\lambda_n}{n}\right)^m\frac{\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^n}{\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^m}\\&=\frac{\lambda_n^m}{m!}\underbrace{\frac{n\cdot\ldots\cdot(n-m+1)}{n\cdot\ldots\cdot n}}_{\xrightarrow{n\to\infty} 1}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^n}_{\xrightarrow{n\to\infty}e^{-\lambda}}\underbrace{\frac{1}{\left(1-\frac{\lambda^n}{n}\right)^m}}_{\xrightarrow{n\to\infty}1}\\&=e^{-\lambda}\frac{\lambda^m}{m!}\end{align*}