Лекция 9, 18.11.2024

Одномерные функции от случайных векторов¶

Theorem 2

Пусть $\xi_1,\ldots,\xi_n$ — СВ на $(\Omega,\FF,\mathbb{P})$ , тогда

\varlimsup_{n\to\infty} \xi_n,\ \varliminf_{n\to\infty} \xi_n,\ \inf_{n} \xi,\ \sup_{n}\xi_n\text{ — СВ},

где $\varlimsup\limits_{n\to\infty} \xi_n=\limsup\limits_{n\to\infty} \xi_n,\ \varliminf\limits_{n\to\infty} \xi_n=\liminf\limits_{n\to\infty} \xi_n$

\begin{aligned} \forall x\ \{\omega:\sup_n\xi_n>x\}&=\bigcup_n\{\xi_n>x\}\in\FF\\ \forall x\ \{\omega:\inf_n\xi_n<x\}&=\bigcup_n\{\xi_n<x\}\in\FF \end{aligned}

\begin{aligned} \varlimsup_{n\to\infty}\xi_n&=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geqslant n}\xi_k\\ \varliminf_{n\to\infty}\xi_n&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geqslant n}\xi_k \end{aligned}

Theorem 3

Пусть $\xi_1,\xi_2$ — независимые СВ, тогда $\forall$ борелевских $g_1,g_2$

g_1(\xi_1),g_2(\xi_2)\text{ — независимые СВ}

Пусть имеется $\nu\sim\text{Pois}(\lambda)$ — число обращений, $\xi_i\sim\text{Exp}(\theta)$ — длина разговора

$S=\xi_1+\ldots+\xi_\nu=g(\xi_1,\ldots,\xi_n;\nu)$ — элементы суммы независимы

Definition 2

Пусть $\xi_1,\xi_2$ — абсолютно непрерывны и независимы, тогда $\xi_1+\xi_2$ — абсолютна непрерывна и

\boxed{f_{\xi_1+\xi_2}(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_{\xi_1}(z)f_{\xi_2}(z-x)\d{x}}

\begin{aligned} F_{\xi_1+\xi_2}(z)=\PP{\xi_1+\xi_2\leqslant z}&=\iint\limits_{D}f_{\xi_1}(x_1)f_{\xi_2}(x_2)\d{x_1}\d{x_2}\\ &=\int\limits_{x_1=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{x_2=-\infty}^{-x_1+z}f_{\xi_1}(x_1)f_{\xi_2}(x_2)\d{x_1}\d{x_2}\\ &=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\d{x_1}\int\limits_{-\infty}^{z}f_{\xi_2}(u-x_1)f_{\xi_1}(x_1)\d{u}\\ &=\int\limits_{-\infty}^{z}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{\xi_1}(x_1)f_{\xi_2}(u-x_1)\d{x_1}\d{u}, \end{aligned}

где

\begin{aligned} &x_1+x_2=u\\ &\d{x_2}=\d{u} \end{aligned}

test