Skip to article frontmatterSkip to article content

Если вероятностное событие Ω\Omega с вероятностными точками. События — это подмножества нашего множества всех событий.

Нужно определить функцию PF ⁣:→[0,1]\mathbb{P}\mathcal{F}\colon \to[0,1]. Ищем область определения.

F\mathcal{F} — σ\sigma-алгебра. Системы подмножеств множества Ω\Omega. Это область определения из меры, которую мы определим позже.

Задание 1

A\mathcal{A} — алгебра. Докажите, что ∅∈A\varnothing\in\mathcal{A}.

Ω∈A,∅=Ωc∈A\Omega\in\mathcal{A},\varnothing=\Omega^c\in\mathcal{A}

Задание 2

A\mathcal{A} — алгебра, A1,A2∈AA_1,A_2\in\mathcal{A}

Подзадание A

A1∩A2∈AA_1\cap A_2\in\mathcal{A}

A1∩A2=(A1c∈A∪A2c∈A)c∈AA_1\cap A_2=(\underset{\in A}{\boxed{A_1^c}}\cup \underset{\in A}{\boxed{A_2^c}})^c\in\mathcal{A}

Подзадание B

A1∖A2∈AA_1\setminus A_2 \in \mathcal{A}
A1∖A2=A1∩A2c⏟∈A⏟∈A∈AA_1\setminus A_2=\underbrace{A_1\cap \underbrace{A_2^c}_{\in A}}_{\in A}\in\mathcal{A}

Задание 3

Докажите, что всякая σ\sigma-алгебра является алгеброй

F\mathcal{F} — σ\sigma-алгебра   ⟹  \implies все три аксиомы выполнены (a1)=(σ1),(a2)=(σ2)(a_1)=(\sigma_1), (a_2)=(\sigma_2) выполнены

Проверим, что для F\mathcal{F} выполнена (a3)(a_3).

Пусть A1,A2∈FA_1, A_2\in\mathcal{F}. Положим An=∅∈FA_n=\varnothing\in\mathcal{F} при n≥3n\geq 3.

⋃n=1∞An∈F=(a3)A1∩A2\bigcup^\infty_{n=1}A_n\in\mathcal{F}\overset{(a3)}{=}A_1\cap A_2

Из задач 2 и 3 следует, что если F\mathcal{F} — σ\sigma-алгебра и A1,A2∈FA_1, A_2\in\mathcal{F}, то

A1∪A2∈F, A1∩A2∈F, A1∖A2∈FA_1\cup A_2\in\mathcal{F},\ A_1\cap A_2\in\mathcal{F},\ A_1\setminus A_2\in\mathcal{F}

Задача 4

Пусть F\mathcal{F} — σ\sigma-алгбера и A1,…,An,⋯∈FA_1,\dots, A_n,\dots\in\mathcal{F}. Докажите, что ⋂n=1∞An∈F\bigcap^\infty_{n=1}A_n\in\mathcal{F}.

⋂n=1∞An=(⋃n=1∞Anc⏟∈F(σ2)⏟∈F(σ2))c\bigcap^\infty_{n=1}A_n=\left(\underbrace{\bigcup_{n=1}^\infty \underbrace{A_n^c}_{\in\mathcal{F} (\sigma 2)}}_{_{\in\mathcal{F} (\sigma 2)}}\right)^c

Задача 5

Ω={a,b,c,d}\Omega=\{a, b, c, d\}. Какие из множеств являются σ\sigma-алгебрами?

  1. S1={∅,Ω}\mathcal{S}_1=\{\varnothing,\Omega\} — сигма алгебра (тривиальная, “самая бедная”)
⋃n=1∞An∈S1\bigcup^\infty_{n=1}A_n\in\mathcal{S}_1
  1. S2=2Ω\mathcal{S}_2=2^{\Omega} — множество всех подмножеств в множестве Ω\Omega.
A∈2Ω  ⟺  A⊆Ω  ⟹  Ω∖A⊆Ω  ⟺  Ω∖A⏟=A∈2ΩA\in 2^\Omega\iff A\subseteq\Omega\implies\Omega\setminus A\subseteq\Omega\iff\underbrace{\Omega\setminus A}_{=A}\in 2^\Omega
⋃n=1∞An⊆Ω  ⟹  ⋃n=1∞An∈2Ω\bigcup_{n=1}^\infty A_n\subseteq\Omega\implies\bigcup^\infty_{n=1}A_n\in 2^\Omega
  1. S3={{a,b},{c,d}}\mathcal{S}_3=\{\{a, b\},\{c, d\}\}

Ω∈S3  ⟹  S3\Omega\in\mathcal{S}_3\implies\mathcal{S}_3 — не σ\sigma-алгебра

  1. S4={∅,Ω,{a,b}}\mathcal{S}_4=\{\varnothing,\Omega,\{a, b\}\}

{a,b}∈S4\{a, b\}\in\mathcal{S}_4, но {a,b}c∉S4\{a, b\}^c\not\in\mathcal{S}_4

Задача 6

Ω=(0,1]\Omega=(0, 1]
A={A=⋃k=1n(ak;bk] ⁣:n∈N,(ak;bk]⊆Ω,(ak;bk]∩(al;bl]=∅,l≠k}\mathcal{A}=\{A=\bigcup^n_{k=1}(a_k;b_k]\colon n\in\mathbb{N}, (a_k;b_k] \subseteq\Omega, (a_k;b_k]\cap(a_l;b_l]=\varnothing, l\neq k\}

Подзадача А

Докажите, что A\mathcal{A} — алгебра

A∪B=A⊔BA\cup B=A\sqcup B для A∩B=∅A\cap B=\varnothing

⋃n=1∞An=⨆n=1∞An\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n
A=(0.1,0.25]∪(0.33,0.47]∪(0.9,1]∈AA=(0.1,0.25]\cup(0.33,0.47]\cup(0.9, 1]\in\mathcal{A}
A=[0.1,0.5]=0.1∪(0.1,0.5]∉AA=[0.1,0.5]={0.1}\cup(0.1, 0.5]\not\in\mathcal{A}
(0.1,0.1]={x ⁣:0.1<x≤0.1}=∅(0.1,0.1]=\{x\colon 0.1<x\leq 0.1\}=\varnothing
(a;b]={x ⁣:a<x≤b}(a;b]=\{x\colon a<x\leq b\}
Ω=(0,1]∈A\Omega=(0, 1]\in\mathcal{A}
Ac=(0,0.1]⊔(0.25,0.33]⊔(0.47,0.9]∈AA^c=(0, 0.1]\sqcup(0.25,0.33]\sqcup(0.47,0.9]\in\mathcal{A}

Очевидно, что объединение таких множеств сохраняет их структуру и что перед нами алгебра.

Подзадача B

Приведите пример: A1,…,An,⋯∈AA_1,\dots,A_n,\dots\in\mathcal{A}, но ⋃n=1∞An∉A\bigcup^\infty_{n=1}A_n\not\in\mathcal{A}

A1=∅∈A,An=(0,1−1n]⏟∈A,n≤2A_1=\varnothing\in\mathcal{A}, A_n=\underbrace{(0,1-\frac{1}{n}]}_{\in A},n\leq 2
⋃n=1∞An=(0,1)∉A\bigcup^\infty_{n=1}A_n=(0,1)\not\in A

  ⟹  A\implies\mathcal{A} — не σ\sigma-алгебра

Задача 7

Ω={a,b,c,d}\Omega=\{a,b,c,d\}
F1={∅,Ω,{a},{b,c,d}},F2={∅,Ω,{a,b,c},{d}}\mathcal{F}_1=\{\varnothing,\Omega,\{a\},\{b, c, d\}\},\mathcal{F}_2=\{\varnothing,\Omega,\{a,b,c\},\{d\}\}
  1. F,F\mathcal{F}, \mathcal{F} — σ\sigma-алгебры
  2. F∩F={A ⁣:A∈F1∧A∈F2}={∅,Ω}\mathcal{F}\cap\mathcal{F}=\{A\colon A\in\mathcal{F}_1 \land A\in\mathcal{F}_2\}=\{\varnothing,\Omega\} — σ\sigma-алгебра
  3. F1∪F2={A ⁣:A∈F1∨A∈F2}={∅,Ω,{a},{b,c,d},{a,b,c},{d}}\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2=\{A\colon A\in\mathcal{F}_1\lor A\in\mathcal{F}_2\}=\{\varnothing,\Omega,\{a\},\{b, c, d\},\{a,b,c\},\{d\}\}
{a},{d}∈F1∪F2\{a\},\{d\}\in\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2
{a}∪{d}={a,d}∉F1∪F2\{a\}\cup\{d\}=\{a, d\}\not\in\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2

  ⟹  \implies это не σ\sigma-алгебра

Задача 9

Доказать, что пересечение любого семейста σ\sigma-алгебр с одной и той же единицей является σ\sigma-алгеброй

Fj,j∈J\mathcal{F}_j,j\in J (JJ — произвольное множество индексов) ∀j∈J, Ω∈Fj\forall j\in J,\ \Omega\in\mathcal{F}_j

F^:=⋂j∈JFj\hat{\mathcal{F}}:=\bigcap_{j\in J}\mathcal{F}_j — σ\sigma-алгебра

  1. Ω∈F^\Omega\in\hat{\mathcal{F}}. В самом деле, ∀j∈J,Ω∈Fj  ⟹  Ω∈⋂j∈JFj=F^\forall j\in J,\Omega\in\mathcal{F}_j\implies\Omega\in\bigcap_{j\in J}\mathcal{F}_j=\hat{\mathcal{F}}

  2. A∈F^  ⟹  ∀j∈J,A∈Fj  ⟹  ∀j∈J,Ac∈Fj  ⟹  Ac∈⋃j∈JFj=F^A\in\hat{\mathcal{F}}\implies\forall j\in J, A\in\mathcal{F}_j\implies\forall j\in J, A^c\in\mathcal{F}_j\implies A^c\in\bigcup_{j\in J}\mathcal{F}_j=\hat F

  3. A1,…,An,⋯∈F^  ⟹  ∀b∈N∀j∈JAn∈Fj  ⟹  ∀j∈J(∀n∈N,An∈Fj)  ⟹  ∀j∈J⋃n=1∞An∈Fj  ⟹  ⋃j∈JAj∈⋂j∈JFj=F^jA_1,\dots,A_n,\dots\in\hat{\mathcal{F}}\implies\forall b\in\mathbb{N}\forall j\in J A_n\in\mathcal{F}_j\implies\forall j\in J (\forall n\in\mathbb{N}, A_n\in\mathcal{F}_j)\implies\forall j\in J \bigcup^\infty_{n=1}A_n\in\mathcal{F}_j\implies\bigcup_{j\in J}A_j\in\bigcap_{j\in J}\mathcal{F}_j=\hat{\mathcal{F}}_j

Времена
Семинар 1, 06.09.2024
Времена
Семинар 3, 20.09.2024