Skip to article frontmatterSkip to article content

Задача 1

AA и BB — независимые (P(A∩B)=P(A)P(B))(\PP(A\cap B)=\PP(A)\PP(B))

Подзадание А

Доказать, что AA и BcB^c — независимые (P(A∩Bc)=P(A)P(Bc))(\PP(A\cap B^c)=\PP(A)\PP(B^c))

P(A∩Bc)=P(A∖B)=P(A∖(A∩B))=A∩B⊆A=P(A)−P(A∩B)=P(A)−P(A)P(B)P(A)[1−P(B)]⏟P(Bc)\PP(A\cap B^c)=\PP(A\setminus B)=\PP(A\setminus (A\cap B))\overset{\boxed{A\cap B\subseteq A}}{=}\\=\PP(A)-\PP(A\cap B)=\PP(A)-\PP(A)\PP(B)\PP(A)\underbrace{[1-\PP(B)]}_{\PP(B^c)}

Подзадание Б

Доказать, что AcA^c и BcB^c независимые.

Автоматически следует из пункта А.

Задача 2

AA и BB — независимые, BB и CC — независимые. Следует ли отсюда, что AA и CC — независимые?

Ω={a,b,c,d},F=2Ω,P({a})=⋯=P({b})=14\Omega=\{a, b, c, d\},\quad\FF=2^\Omega,\quad\PP(\{a\})=\dots=\PP(\{b\})=\frac{1}{4}
A={a,b},B={b,c},C={c,d}A=\{a, b\},\quad B=\{b, c\},\quad C=\{c, d\}
P(A∩B)=P({b})=14=P(A)P(B)=12⋅12=14  ⟹  \PP(A\cap B)=\PP(\{b\})=\frac{1}{4}=\PP(A)\PP(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\implies

AA и BB независимые.

P(B∩C)=P({c})=14=P(B)P(C)=12⋅12=14  ⟹  \PP(B\cap C)=\PP(\{c\})=\frac{1}{4}=\PP(B)\PP(C)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\implies

BB и CC независимые.

P(A∩C)=P(∅)=0≠P(A)P(C)=12⋅12=14  ⟹  \PP(A\cap C)=\PP(\emptyset)=0\neq\PP(A)\PP(C)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\implies

AA и CC зависимые.

Задача 3

Решаем задачу для 30 студентов.

D:={1,2,3,…,365}D:=\{1,2,3,\dots,365\} — номера дней в году

Ω={w=(d1,…,d30):d1∈D,…,d30∈D}\Omega=\{w=(d_1,\dots,d_{30}): d_1\in D,\dots,d_30\in D\}

F=2Ω\FF=2^\Omega

P(A)=#A#Ω\PP(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}

A:={в группе из 30 человек найдётся хотя бы 2 человека,дни рождения которых совпадают}A:=\left\{\begin{align*} &\text{в группе из 30 человек найдётся хотя бы 2 человека,}\\ &\text{дни рождения которых совпадают}\end{align*}\right\}
B:={в группе из 30 человек все дни рождения различны}B:=\{\text{в группе из 30 человек все дни рождения различны}\}

B=AcB=A^c

B={w=(d1,…,d30):d1∈D,d2∈D∖{d1},…,d30∈D∖{d1,…,d29}}B=\{w=(d_1,\dots,d_30):d_1\in D,d_2\in D\setminus\{d_1\},\dots,d_{30}\in D\setminus\{d_1,\dots,d_{29}\}\}

#Ω=365×⋯×365⏟30=36530\#\Omega=\underbrace{365\times\dots\times365}_{30}=365^{30}
#B=365×364×⋯×(365−29)\#B=365\times364\times\dots\times(365-29)
P(B)=#B#Ω≈0.294\PP(B)=\frac{\# B}{\#\Omega}\approx 0.294
P(A)≈0.706\PP(A)\approx 0.706

Другой способ решения задания

B1={в группе из 1-го человека нет повторяющихся дней рождения}B2={в группе из 2-х человек нет повторяющихся дней рождения} ⋮B30={в группе из 30-ти человек нет повторяющихся дней рождения}\begin{align*} &B_1=\{\text{в группе из 1-го человека нет повторяющихся дней рождения}\}\\ & B_2=\{\text{в группе из 2-х человек нет повторяющихся дней рождения}\}\\ &\ \vdots\\ & B_{30}=\{\text{в группе из 30-ти человек нет повторяющихся дней рождения}\}\end{align*}
B1⊇B2⊇⋯⊇B30,B30=B,B=B1∩B2∩⋯∩B30B_1\supseteq B_2\supseteq\dots\supseteq B_{30},\quad B_{30}=B, B=B_1\cap B_2\cap \dots \cap B_{30}
P(B)=P(B1)⏟=1P(B2∣B1)⏟364365P(B3∣B1∩B2⏟=B2)⏟363365⋅…⋅P(B30∣B1∩…∩B29⏟=B29)⏟=(365−29)365=0.294\PP(B)=\underbrace{\PP(B_1)}_{=1}\underbrace{\PP(B_2|B_1)}_{\frac{364}{365}}\underbrace{\PP(B_3|\underbrace{B_1\cap B_2}_{=B_2})}_{\frac{363}{365}}\cdot\ldots\cdot\underbrace{\PP(B_{30}|\underbrace{B_1\cap\ldots\cap B_{29}}_{=B_{29}})}_{=\frac{(365-29)}{365}}=0.294

Задача 5

V:={Вася пришёл на лекцию}V:=\{\text{Вася пришёл на лекцию}\}
M:={Маша пришла на лекцию}M:=\{\text{Маша пришла на лекцию}\}
A:={Алёна пришла на лекцию}A:=\{\text{Алёна пришла на лекцию}\}

Подзадача А

Построим разбиение Ω\Omega:

D1:=M∩A,D2:=M∩Ac,D3:=Mc∩A,D4:=Mc∩AcD_1:=M\cap A,\quad D_2:=M\cap A^c,\quad D_3:=M^c\cap A, D_4:=M^c\cap A^c

MM и AA независимые.

P(M)=0.4,P(A)=0.6\PP(M)=0.4,\quad \PP(A)=0.6
P(V∣D1)=0.9,P(V∣D2)=0.54,P(V∣D3)=0.36,P(V∣D4)=0.18\PP(V|D_1)=0.9,\quad\PP(V|D_2)=0.54,\quad\PP(V|D_3)=0.36,\quad \PP(V|D_4)=0.18
P(D1)=P(M∩A)=по нез.P(M)P(A)=0.4×0.6=0.24\PP(D_1)=\PP(M\cap A)\overset{\text{по нез.}}=\PP(M)\PP(A)=0.4\times0.6=0.24
P(D2)=P(M∩Ac)=1◯P(M)P(Ac)=0.4×0.4=0.16\PP(D_2)=\PP(M\cap A^c)\overset{\textcircled{1}}{=}\PP(M)\PP(A^c)=0.4\times0.4=0.16
P(D3)=P(Mc∩A)=1◯P(Mc)P(A)=0.6×0.6=0.36\PP(D_3)=\PP(M^c\cap A)\overset{\textcircled{1}}{=}\PP(M^c)\PP(A)=0.6\times0.6=0.36
P(D4)=P(Mc∩Ac)=1◯P(Mc)P(Ac)=0.6×0.4=0.24\PP(D_4)=\PP(M^c\cap A^c)\overset{\textcircled{1}}{=}\PP(M^c)\PP(A^c)=0.6\times0.4=0.24

Теперь ищем вероятность, что Вася пришёл на лекцию.

P(V)=P(V∣D1)P(D1)+P(V∣D2)P(D2)+P(V∣D3)P(D3)+P(V∣D4)P(D4)=0.9×0.24+0.54×0.16+0.36×0.36+0.18×0.24=0.4752\begin{align*}\PP(V)&=\PP(V|D_1)\PP(D_1)+\PP(V|D_2)\PP(D_2)+\PP(V|D_3)\PP(D_3)+\PP(V|D_4)P(D_4)\\&=0.9\times0.24+0.54\times0.16+0.36\times0.36+0.18\times0.24=0.4752\end{align*}

Подзадача Б

Кого чаще можно застать на тех лекциях, на которых присутствует Вася, Машу или Алёну?

P(M∣V)∼P(A∣V)\PP(M|V)\sim\PP(A|V)
P(M∣V)=P(M∩A⏟D1∣V)+P(M∩Ac⏟D2∣V)=P(V∣D1)P(D1)P(V)+P(V∣D2)P(D2)P(V)=0.64\begin{align*}\PP(M|V)&=\PP(\underbrace{M\cap A}_{D_1}|V)+\PP(\underbrace{M\cap A^c}_{D_2}|V)\\&=\frac{\PP(V|D_1)\PP(D_1)}{\PP(V)}+\frac{\PP(V|D_2)\PP(D_2)}{P(V)}=0.64\end{align*}

Задача 6

Трое игроков по очереди подбрасывают монету бесконечное количество раз. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет орёл. Найдите вероятности выигрыша для каждого игрока.

Способ 1. (рабоче-крестьянский)

Ω={O,PO,PPO,PPPO,PPPPO,… }∪{PPP…P… }\Omega=\{O, PO, PPO, PPPO, PPPPO, \dots\}\cup\{PPP\dots P\dots\}
F=2Ω\FF=2^\Omega
P({O})=12,P({PO})=122,P({PPO})=123,…\PP(\{O\})=\frac{1}{2},\quad\PP(\{PO\})=\frac{1}{2^2},\quad\PP(\{PPO\})=\frac{1}{2^3},\dots
P({PPP…P… })=0\PP(\{PPP\dots P\dots\})=0
A1:={победил первый игрок}={O,PPPO,PPPPPPO,… }A2:={победил второй игрок}={PO,PPPPO,PPPPPPPO,… }A3:={победил третий игрок}={PPO,PPPPPO,PPPPPPPPO,… }\begin{align*}&A_1:=\{\text{победил первый игрок}\}=\{O,PPPO,PPPPPPO,\dots\}\\&A_2:=\{\text{победил второй игрок}\}=\{PO,PPPPO,PPPPPPPO,\dots\}\\&A_3:=\{\text{победил третий игрок}\}=\{PPO,PPPPPO,PPPPPPPPO,\dots\}\end{align*}
P(A1)=12+124+127+1210+⋯=121−123=1278=47\PP(A_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^{10}}+\dots=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2^3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}}=\frac{4}{7}
P(A2)=122+125+128+⋯=12P(A1)=27\PP(A_2)=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^8}+\dots=\frac{1}{2}\PP(A_1)=\frac{2}{7}
P(A3)=123+126+129+⋯=12P(A2)=17\PP(A_3)=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^9}+\dots=\frac{1}{2}\PP(A_2)=\frac{1}{7}

Способ 2.

D1:={при первом подбрасывании выпал орёл}D_1:=\{\text{при первом подбрасывании выпал орёл}\}
pi:=P(Ai),i=1,2,3p_i:=\PP(A_i),\quad i=1,2,3
p1=P(A1∣D1)P(D1)+P(A1∣D1c)P(D1c)=1×12+p3×12\begin{align*}p_1&=\PP(A_1|D_1)\PP(D_1)+\PP(A_1|D_1^c)\PP(D_1^c)\\&=1\times\frac{1}{2}+p_3\times\frac{1}{2}\end{align*}
p2=P(A2∣D1)P(D1)+P(A2∣D1c)P(D1c)=0×12+p1×12\begin{align*}p_2&=\PP(A_2|D_1)\PP(D_1)+\PP(A_2|D_1^c)\PP(D_1^c)\\&=0\times\frac{1}{2}+p_1\times\frac{1}{2}\end{align*}
P(A1∣D1c)=P(A1∩D1c)P(D1c)=P({PPPO,PPPPPPO,… })12=124+127+1210+…12=123+126+129+⋯=p3\begin{align*}P(A_1|D_1^c)&=\frac{\PP(A_1\cap D_1^c)}{\PP(D_1^c)}=\frac{\PP(\{PPPO,PPPPPPO,\dots\})}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^{10}}+\dots}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^9}+\dots=p_3\end{align*}
Времена
Семинар 3, 20.09.2024
Времена
Семинар 5, 04.10.2024