Лекции 17–19. Ряды Фурье–3. Полнота основной тригонометрической системы

Полнота системы векторов в нормированном пространстве¶

Definition 17.1 (Полная система векторов в нормированном пространстве)

Пусть $V$ — нормированное пространство.
Система векторов $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}\in V$ называется полной по отношению к множеству $U\in V$ (или полной в $U$ ), если любой векторов из $U$ можно сколько угодно близко приблизить конечными линейными комбинациями векторов системы.

\forall x\in U, \forall \ve>0,\exists \lambda_1,\ldots,\lambda_N\colon \left\|x-\sum^{N}_{k=1}\lambda_kx_k\right\|<\ve

Эквивалентные условия полноты ортогональной системы векторов¶

Theorem 17.1 (Эквивалентные условия полноты ортогональной системы векторов)

$V$ — линейное пространство со скалярным произведением $\langle\cdot, \cdot\rangle$ .
$U$ — некоторое подмножество $V$ .
$\{e_k\}$ — не более, чем счётная, система ненулевых взаимно ортогональных векторов из $V$ .

Тогда следующие условия эквивалентны:

$\{e_k\}$ — полная в $U$ ;
$\forall x\in U$ верно $\displaystyle x=\sum_{k}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k$ (то есть ряд Фурье сходится по норме);
$\forall x\in U$ верно равенство Парсеваля: $\boxed{\ds||x||^2=\sum_k\frac{|\langle x,e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}}$ .

Proof

$\boxed{1} \implies \boxed{2}$
Имеем $\{e_k\}$ — полная в $U\implies \displaystyle\forall x \in U, \forall \ve>0, \exists \lambda_1,\ldots,\lambda_N, (\exists N),\colon \left\|x-\sum^{N}_{k=1}\lambda_kx_k\right\|<\ve$
Хотим показать, что ряд Фурье сходится по норме.
$S_n=\sum^n_{k=1}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\implies\lim_{n\to\infty}||s_n-x||=0$
Рассмотрим
$n>N\colon \left\|x-\sum^n_{k=1}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right\|\leq\left\|x-\sum^N_{k=1}\lambda_k e_k\right\|<\ve$
$\implies\forall \ve>0,\exists N\colon\forall n>N,||x-S_n||<\ve\implies\lim_{n\to\infty}||S_n-x||=0$
$\boxed{2} \implies \boxed{3}$
Имеем, что
$\implies\forall \ve>0,\exists N\colon\forall n>N,||x-S_n||<\ve\implies\lim_{n\to\infty}||S_n-x||=0$
Рассмотрим
$\begin{align*} \left\|x-\sum^n_{k=1}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right\|^2&=||x||^2-\left\|\sum^n_{k=1}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right\|^2\\ &=||x||^2-\sum^n_{k=1}\left\|\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right\|\\ &=||x||^2\sum^n_{k=1}\frac{|\langle x,e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}<\ve \end{align*}$
$\implies\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}\frac{|\langle x,e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}=||x||^2\implies ||x||^2=\sum^\infty_{k=1}\frac{|\langle x,e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}$
$\boxed{3} \implies \boxed{1}$
Выполняется равенство Парсеваля
$\implies \forall \ve > 0, \exists N\colon ||x||^2-\sum^n_{k=1}\frac{|\langle x,e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}<\ve$
Рассмотрим
$\left\|x-\sum^N_{k=1}\frac{\langle x,e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k\right\|^2=||x||^2-\sum^N_{k=1}\frac{|\langle x,e_k\rangle|^2}{\langle e_k, e_k\rangle}<\ve\implies$
выполняется определение полной системы.

Необходимое условие полноты системы векторов¶

Полнота основной тригонометрической системы¶

Theorem 17.2 (Следствия полноты основной тригонометрической системы)

$V=\riemann[-\pi,\pi]$ — пространство интегрируемых по Риману на отрезке $[-\pi,\pi]$ функций.

\forall f, g \in V\colon \langle f, g\rangle=\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\d x

Если ортонормированная система: $\displaystyle\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin kx}{\sqrt{\pi}}\right\}_{k\in\NN}$ — полная в некотором $U$ , то:

Любая функция может быть представлена в виде своего ряда Фурье:
$\forall f\in V, f(x)=\sum^\infty_{k=1}\frac{\langle f, e_k\rangle}{\langle e_k, e_k\rangle}e_k=\frac{A_0}{\sqrt{2\pi}}+\sum^\infty_{k=1}\left(A_k\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}+B_k\frac{\sin kx}{\sqrt{\pi}}\right)$
Выполняется равенство Парсеваля:
$||f||^2=A_0^2+\sum_k^\infty(A_k^2+B_k^2)$
Если $f,g\in V\colon\forall k\in \NN,f_k=\langle f, e_k\rangle=\langle g, e_k\rangle=g_k\implies f=g$

Этап 1. Приближение интегрируемой функции ступенчатой¶

Определим ступенчатую на отрезке $[a, b]$ функцию:

f(x)=\sum^N_{k=1}\alpha_j\chi_{\Delta_k},\quad \alpha_k=\const,\quad k\in\overline{1, N},\quad a=t_0<t_1<\ldots<t_N=b

\begin{align*} \Delta_k&=[t_{k-1}, t_k), \quad k=\overline{1, N-1}\\ \Delta_N&=[t_{N-1}, t_N] \end{align*}

\chi_{\Delta_k}=\begin{cases} 1, & x\in \Delta_k\\ 0, & x\notin\Delta_k \end{cases}

Proof

Покажем, что $\ds\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi|g_n-f|\d x=0$ .
Введём $-\pi=t_0<t_1<\ldots<t_n=\pi$ . $g_n(x)$ существует в силу определения
$g_n(x)=\sum^n_{k=1}f(t_{k-1})x_{\Delta_k}$
$\begin{align*} \int\limits_{-\pi}^\pi\left|f-\sum^n_{k=1}f(t_{k-1})\chi_{\Delta_x}\right|\d x&=\int\limits_{-\pi}^\pi\left|f-f(t_{k-1})\cdot\chi_{\Delta_x}\right|\d x\\ &\leq\int\limits^\pi_{-\pi}\sum^n_{k=1}|f-f(t_{k-1})|\chi_{\Delta_k}\d x\\ &\leq \sum^n_{k=1}\int^\pi_{-\pi}(\sup_{\Delta_k}f-\inf_{\Delta_k}f)\chi_{\Delta_k}\d x\\ &= \sum^n_{k=1}(\sup_{\Delta_k}f-\inf_{\Delta_k}f)|\Delta_k|\d x\\ &= \sum^n_{k=1}(\sup_{\Delta_k}(f)|\Delta_k|-\sum^n_{k=1}\inf_{\Delta_k}(f)|\Delta_k|)|\d x\\ &=\Su(f,\pi)-\Sl(f,\pi)\implies\lim_{n\to\infty}(\Iu-\Il)=0 \end{align*}$
$\|f-g\|=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi(f-g_n)^2\d x}\xrightarrow{?}0$
$\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi(f-g_n)^2\d x}=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi|f-g_n|\cdot|f-g_n|\d x}$
$f\in\riemann[-\pi,\pi]\implies$ f ограничена $\implies \exists M\colon |f|\leq M$ на $[-\pi,\pi]$ и $|g_n|\leq M\implies \ds\lim_{n\to\infty}||f-g_n||=0$
$||f-g_n||=\sqrt{2M}\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi|f-g_n|\d x}\xrightarrow{n\to\infty} 0$

Этап 2. Приближение ступенчатой функции непрерывной¶

Proof

Рассмотрим ступечатую функцию, т. е. $f(x)=\alpha\cdot x_\Delta$ , где $\Delta=[a, b]\subset[-\pi,\pi]$ .

g_\delta(x)=\begin{cases} f(x), & x\in[a+\delta, b-\delta]\\ \frac{\alpha}{\delta}(x-a), & x\in[a, a+\delta]\\ \frac{\alpha}{\delta}(b-x), & x\in[b-\delta, b]\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

$f$ — ступенчатая, следовательно она ограничена на $[a, b]\implies$

\exists M\colon |f(x)|\leq M, |g_\delta(x)\leq M|

\begin{align*} \|f-g_\delta\|&=\sqrt{\int\limits^{\pi}_{-\pi}(f-g_\delta)^2\d x}=\sqrt{\int\limits^b_a(f-g_\delta)^2\d x}\\ &=\sqrt{\int\limits^{a+\delta}_a(f-g_\delta)^2\d x + \int\limits_{b-\delta}^b(f-g_\delta)^2\d x}\leq \sqrt{M^2\delta + M^2\delta}=\sqrt{2M^2\delta}\\ &\implies\lim_{\delta\to\infty}\sqrt{2M^2\delta}=0 \end{align*}

что верно для одной ступеньки, но так как ступенек конечное число $N\implies\forall N$ все ступени тоже $\to 0$ .

Этап 3. Приближение непрерывной функции $2\pi$ -периодической¶

Proof

Рассмотрим $g_n(x)$ на $[-\pi,\pi]$ .

g_n(x)=\begin{cases} f(x), & x\in[-\pi+\frac{1}{n}, \pi-\frac{1}{n}]\\ \frac{f(-\pi+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}(x+\pi), & x\in[-\pi, -\pi + \frac{1}{n}]\\ \frac{f(\pi-\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}(\pi-x), & x\in[\pi-\frac{1}{n},\pi] \end{cases}

Продлим $g_n(x)$ $2\pi$ -периодически на $\RR\implies g_n(x)\in\contclass(\RR)$ .
$f\in\contclass[-\pi,\pi]\implies f$ ограничена на $[-\pi, \pi] \implies$
$\exists M\colon |f(x)|\leq M, |g_n|\leq M$
$\begin{align*} \|f-g_n\|&=\sqrt{\int\limits^\pi_{-\pi}(f-g_n)^2\d x}\\ &=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi(f-g_n)^2\d x+\int\limits^\pi_{-\pi}-\frac{1}{n}(f-g_n)^2\d x}\leq\sqrt{2M^2\cdot\frac{1}{n}}\\ &\implies\lim_{n\to\infty}\sqrt{2M^2\cdot\frac{1}{n}}=0 \end{align*}$

Proof

$(1-3)$ из свойств членов функции.

\begin{align*} (4)\colon \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi D_n(t)\d t&=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}\left(\frac{1}{2}+\sum^n_{k=1}\cos kt\right)\d t\\ &=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^\pi 1\d t+\sum^n_{k=1}\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos kt\d t \end{align*}

(5)\colon t=2\pi m, m\in\ZZ, \quad D_n(2\pi m)=\frac{1}{2}+\sum^n_{k=1}\underset{=1}{\cos(2\pi k m)}=n+\frac{1}{2}

t\neq 2\pi m\implies\frac{1}{2}\neq \pi m

\begin{align*} D_n(t)&=\left(\frac{1}{2}+\sum^n_{k=1}\cos kt\right)=\frac{\left(\frac{1}{2}+\sum^n_{k=1}\cos kt\right)\cdot\sin\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\\ &=\frac{\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2}+\sum^n_{k=1}\frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{1}{2}-k\right)t+\sin\left(\frac{1}{2}+k\right)t\right)}{\sin\frac{t}{2}}\\ &=\frac{\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2}-\frac{\sin \frac{t}{2}}{2}+\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} \end{align*}

Theorem 17.6 (О частичной сумме ряда Фурье через

D_n

)

$f\in\riemann[-\pi,\pi]$ со скалярным произведением

\la f, g\ra=\int^\pi_{-\pi}f\cdot g\d x

Обозначим $n$ -тую частичную сумму ряда Фурье:

S_n(x, f)=\frac{a_0}{2}+\sum^n_{k=1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)

в ортонормированной системе векторов

\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin kx}{\sqrt{\pi}}\right\}\implies \boxed{S_n(x,f)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x + t) D_n(t) \d t}

S_n(x, f)=\frac{A_0}{\sqrt{2\pi}}+\sum^n_{k=1}\left(A_k\cdot\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}+B_k\frac{\sin kx}{\sqrt{\pi}}\right),\qquad S_n=\sum^n_{k=1}x_ie_i

Proof

\begin{align*} a_0&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}A_0=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_{-\pi}^\pi f\frac{1}{\sqrt{2\pi}\d t}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f\d t\\ a_k&=\frac{A_k}{\sqrt{\pi}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int^{\pi}_{-\pi}\int\limits^\pi_{-\pi}f\cdot\frac{\cos kt}{\sqrt{\pi}}\d t=\frac{1}{\pi}\int\limits^\pi_{-\pi}f\cos kt \d t\\ b_k&=\frac{B_k}{\sqrt{\pi}}=\ldots=\frac{1}{\pi}\int\limits^\pi_{-\pi}f\cdot\sin kt\d t\\ \end{align*}

\begin{align*} S_n(x, f)&=\frac{a_0}{2}+\sum^n_{k=1}(a_k\cos kx+b_k \sin kx)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int\limits^\pi_{-\pi} f \d t +\sum^n_{k=1}\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(\cos kt \cos kx + \sin kt\sin kx)\d t\\ &=\frac{1}{2\pi}\int\limits^\pi_{-\pi} f \d t +\sum^n_{k=1}\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(\cos k(t-x))\d t\\ &=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\left(\frac{1}{2}+\sum^n_{k=1}\cos k(t-x)\right)\d t\\ &=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)(D_n(k(t-x)))\d t \end{align*}

Переобозначим $t-x=y,\ t=y+x$

\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi-x}^{\pi-x} f(y+x)\cdot D_n(y)\d y=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(y+x)\cdot D_n(y)\d y

по $2\pi$ -периодичности сдвинули на $x$ .

Proof

$(1-3)$ из свойств $D_n(t)$ .

\begin{align*} (4)\colon\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\Phi_n\d t=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}D_k(t)\d t=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi D_k(t)\d t=1 \end{align*}

\begin{align*} (5)\colon t&=2\pi m\implies D_k(2\pi m)=k+\frac{1}{2}\implies\\ \Phi_n(2\pi m)&=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ &=\frac{1}{n+1}\left(\frac{n+1}{2}+\frac{(n+1)n}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n+1}{2} \end{align*}

t\neq 2\pi m \implies \frac{t}{2}=\pi m

\begin{align*} \Phi_n(t)&=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}D_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\\ &=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{\frac{1}{2}(\cos kt-\cos (k+1)t)}{2\sin^2\frac{t}{2}}\\ &=\frac{\frac{1}{2}(\cos 0 - \cos (n+1)t)}{2(n+1)\sin^2\frac{t}{2}}=\frac{\sin^2(\frac{n+1}{2}t)}{2(n+1)\sin^2\frac{t}{2}} \end{align*}

Здесь начинается лекция 19

Proof

S_n(f,x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x+t) D_n(t)\d t

\begin{align*} \sigma_n(x,f)&=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}S_k(x,f)=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x+t)D_k(t)\d t\\ &=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x+t)\left(\sum^n_{k=0}D_k(t)\right)\cdot\frac{1}{n+1}\d t=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x+t)\Phi_n(t)\d t \end{align*}

Proof

$f\in\contclass[-\pi, \pi]\implies f$ — равномерно непрерывная на $[-\pi, \pi]$ в силу $2\pi$ -периодичности $f \implies f$ — равномерно непрерывная $\forall [a, b]\subset \RR$ и на $\RR$ :

\forall \ve>0, \exists \delta\colon \forall x, y\in\RR\colon |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\ve

$\begin{align*} |\sigma_n(x,f)-f(x)|&=\left|\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cdot\Phi_n(t)\d t-f(x)\cdot 1\right|\\ &=\left|\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\Phi_n(t)\d t-f(x)\cdot\frac{1}{\pi}\int\limits^\pi_{-\pi}\Phi_n(t)\d t\right|\\ &=\left|\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(f(x+t)-f(x)\right)\Phi_n(t)\d t\right|\\ &=\left|\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\delta}^\delta\left(f(x+t)-f(x)\right)\Phi_n(t)\d t\right.\\ &\ \left.+\ \frac{1}{\pi}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq\pi}\left(f(x+t)-f(x)\right)\Phi_n(t)\d t\right|\\ &=|\II_1+\II_2|<\frac{\ve}{2}+\frac{\ve}{2}=\ve \end{align*}$
$\begin{align*} \II_1&\leq \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\delta}^\delta|f(x+t)-f(x)|\cdot|\Phi_n(t)|\d t<\frac{\ve}{2\pi}\int\limits_{-\delta}^\delta|\Phi_n(t)|\d t\\ &\leq\frac{\ve}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\Phi_n(t)\d t=\frac{\ve}{2} \end{align*}$
Вспомним, что
$\boxed{\Phi_n(t)=\begin{cases} \frac{\sin^2(\frac{n+1}{2}t)}{2(n+1)\sin^2(\frac{t}{2})}, & t\neq 2\pi m\\ \frac{n+1}{2}, & t=2\pi m \end{cases}}$
В силу периодичности $f(x)\in\contclass[-\pi, \pi]\implies \exists M\colon |f(x)|\leq M, x\in\RR$ .
$\begin{align*} \II_2&\leq \frac{1}{\pi}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq \pi}|f(x+t)-f(x)|\cdot|\Phi_n(t)\d t|\\ &\leq 2M\cdot \frac{1}{\pi}\int\limits_{\delta\leq |t|\leq \pi}\Phi_n(t)\d t=\frac{2M}{\pi}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq\pi}\frac{\sin^2(\frac{n+1}{2}t)}{2(n+1)\cdot\sin^2(\frac{t}{2})}\d t\\ &\leq\frac{2M}{\pi}\int\limits_{\delta\leq|t|\leq\pi}\frac{1}{2(n+1)\cdot\sin^2\frac{\delta}{2}}\d t\leq\frac{2M}{\pi\cdot\sin^2\frac{\delta}{2}}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{n}<\frac{\ve}{2} \end{align*}$
так как $\forall \ve>0, \exists N\colon \forall n>N, \forall x\in\RR,\dfrac{\text{const}}{n}\leq \dfrac{\ve}{2}$ .
Таким образом, $\forall \ve>0,\exists N\colon \forall n>N, \forall x\in\RR\colon|\sigma_n(x,f)-f(x)|<\ve\implies \sigma_n\overset{\RR}{\uniconverges} f$ .

Этап 4. Приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами¶

Proof

По теореме Фейера

\sigma_n(x, f)\overset{\RR}{\uniconverges} f(x)\implies \forall \ve>0,\exists N\colon \forall n> N,\forall x\in\RR, |\sigma_n(x)-f(x)|<\ve

\|f(x)-T_n(x)\|=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi(f(x)-T_n(x))^2\d x}

Рассмотрим

\begin{align*} \|f(x)-\sigma_n(x, f)\|&=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^\pi(f(x)-\sigma_n(x,f))^2\d x}\\ &<\sqrt{\ve^2\int_{-\pi}^\pi 1\cdot \d x}<\ve\cdot\sqrt{2\pi} \end{align*}

Так как $\ds\sigma_n(x,f)=\frac{1}{n+1}\sum S_n(x, f)$ , то это и есть наш тригонометрический многочлен, потому что

\forall \ve>0,\exists \sigma_n(x,f), \forall x\in[-\pi,\pi]\hookrightarrow \|f(x)-\sigma_n(x,f)\|<\ve\cdot\sqrt{2\pi}

Конспекты

Лекция 16. Ряды Фурье–2

Информация

Глоссарий

Лекции 17–19. Ряды Фурье–3. Полнота основной тригонометрической системы

Полнота системы векторов в нормированном пространстве¶

Эквивалентные условия полноты ортогональной системы векторов¶

Необходимое условие полноты системы векторов¶

Полнота основной тригонометрической системы¶

Этап 1. Приближение интегрируемой функции ступенчатой¶

Этап 2. Приближение ступенчатой функции непрерывной¶

Этап 3. Приближение непрерывной функции 2π2\pi2π-периодической¶

Этап 4. Приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами¶

Этап 3. Приближение непрерывной функции $2\pi$ -периодической¶